Haben wir eine quadratische Gleichung vorzuliegen, die kein Absolutglied besitzt, also in der Form a·x2 + b·x = 0, so benötigen wir weder p-q-Formel noch abc-Formel, sondern können die Gleichung mit Hilfe des Ausklammerns lösen.
a·x2 + b·x = 0 | x ausklammern
x·(a·x + b) = 0
Das so entstandene Produkt können wir uns dann faktorweise anschauen und die Lösungen berechnen.
Wir wollen also bestimmen, wann der Linksterm 0 ergibt. Hier erinnern wir uns an den Satz vom Nullprodukt und können die erste Lösung mit x1 = 0 direkt angeben. Denn wenn das erste x zu 0 wird, dann wird der gesamte Term 0 sein.
0·(a·0 + b) = 0
0 = 0
Für die zweite Lösung fragen wir uns ebenfalls, wann der Term bzw. Faktor 0 ergibt:
(a·x + b) = 0
Dazu stellen wir nach x um:
(a·x + b) = 0
a·x + b = 0 | -b
a·x = -b | :a
x2 = -b / a
Beide Lösungen zusammen sind also:
\( x_1 = 0 \\ x_2 = -\frac{b}{a} \)
Beispielrechnung zum Lösen mit Ausklammern
Es gilt, die quadratische Gleichung x2 + 645·x = 0 zu lösen.
Wir notieren die Gleichung und klammern das x aus:
x2 + 645·x = 0
x·(x + 645) = 0
Im nächsten Schritt nutzen wir den Satz vom Nullprodukt und ermitteln die beiden Lösungen.
1. Lösung ablesen:
x·(x + 645) = 0 → x1 = 0
2. Lösung ermitteln:
x2 + 645 = 0 | -645
x2 = -645
Fertig. Das sind die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung: x1 = 0 und x2 = -645