Ähnlich einfache Lösungen wie bei Sin- oder Cos-Funktionen sind für die Exponentialfunktion
\( y \left( t \right) = {e^{\lambda t} } \) Gl. 254
zu erwarten. Auch für die Ableitungen gilt
\( y\left( t \right) = {e^{\lambda t} } \) Gl. 255
\( \begin{array}{l} \dot y\left( t \right) = \lambda \cdot {e^{\lambda t} }; \\ \ddot y\left( t \right) = {\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda t} }\\..... \end{array} \)
Somit kann jede lineare n. Ordnung DGL durch Verwendung des Exponentialansatzes zur Lösung gebracht werden. Einsetzen in die homogene DGL von Gl. 234
\( {y^{(n)} }\left( t \right) + ... + {a_2}\ddot y\left( t \right) + {a_1}\dot y\left( t \right) + {a_0}y\left( t \right) = 0 \)
ergibt
\( {\lambda ^n}{e^{\lambda t} } + ... + {\lambda ^2}{a_2}{e^{\lambda t} } + \lambda {a_1}{e^{\lambda t} } + {a_0}{e^{\lambda t} } = 0 \) Gl. 256
Ausklammern von ept
\( \left( { {\lambda ^n} + ... + {\lambda ^2}{a_2} + \lambda {a_1} + {a_0} } \right) \cdot {e^{\lambda t} } = 0 \) Gl. 257
Die triviale Lösung ept=0 soll nicht betrachtet werden, also folgt:
\( {\lambda ^n} + ... + {\lambda ^2}{a_2} + \lambda {a_1} + {a_0} = 0 \) Gl. 258
Das somit gewonnene Polynom in l wird charakteristisches Polynom der DGL genannt. Die Nullstellen dieses Polynoms werden auch Eigenwerte der DGL genannt. Der Begriff Eigenwert erinnert daran, dass die DGL die mathematische Beschreibung eines physikalischen Systems mit bestimmten Eigenschaften ist, z.B. das Schwingungsverhalten eines Feder-Masse-Systems (Stoßdämpfer).
Die n Nullstellen li (i=1...n) dieses Polynoms liefern genau die n partikulären Lösungen, die zur allgemeinen Lösung der DGL erforderlich sind.
Beispiel:
Die Lösung der homogenen DGL \(\ddot y\left( t \right) + {\omega ^2} \cdot y\left( t \right) = 0\) mit Hilfe des allgemeinen Ansatzes führt auf das charakteristische Polynom
\({\lambda ^2} + {\omega ^2} = 0\)
Diese hat nach dem 3. Binomischen Satz die beiden Nullstellen
\({\lambda _{1,2} } = \pm i\omega \,\)
Einsetzen in Gl. 251 führt auf die allgemeine Lösung
\( y\left( t \right) = {C_1} \cdot {e^{i\omega t} } + {C_2}{e^{ - i\omega t} } \)
unter Beachtung der Euler’schen Beziehung
\( y\left( t \right) = \left( { {C_1} + {C_2} } \right) \cdot \cos \left( {\omega t} \right) + i\left( { {C_1} - {C_2} } \right) \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \)
Prüfung auf lineare Unabhängigkeit:
\( \left| {\begin{array}{cc}{\cos \left( {\omega t} \right)} & {\sin \left( {\omega t} \right)}\\{ - \omega \cdot \sin \left( {\omega t} \right)} & {\omega \cdot \cos \left( {\omega t} \right)}\end{array} } \right| = \omega \left( { { {\cos }^2}\left( {\omega t} \right) + { {\sin }^2}\left( {\omega t} \right)} \right) = \omega \ne 0 \)
d.h. linear unabhängig!
Werden die Konstanten geeignet umbenannt,
\( {C'_1} = \left( { {C_1} + {C_2} } \right),\,\,\,\,\,\,{C'_2} = i\left( { {C_1} - {C_2} } \right) \)
ergibt sich wieder die Lösung des vorherigen Beispiels.