Zur Lösung der inhomogenen Aufgabe wird auch hier die Variation der Konstanten angewendet. Ausgangspunkt ist wieder die homogene Lösung, die nun n Konstanten beinhaltet, die alle der Variation unterworfen werden müssen
\( y\left( t \right) = {C_1}\left( t \right){y_1}\left( t \right) + {C_2}\left( t \right){y_2}\left( t \right) + {C_3}\left( t \right){y_3}\left( t \right) + .... + {C_n}\left( t \right){y_n}\left( t \right) \) Gl. 260
Da hier die Produktregel bis zur n. Ableitung angewandt werden muss, entsteht ein sehr komplexer Lösungsansatz, der allgemein nicht direkt lösbar ist. Daher werden für lineare DGLn ein modifizierter Lösungsansatz gesucht.
Dazu wird die DGL zunächst in die Normalform gebracht (Koeffizient an=1)
\( {y^{(n)} }\left( t \right) + ... + {a_2}\ddot y\left( t \right) + {a_1}\dot y\left( t \right) + {a_0}y\left( t \right) = g\left( t \right) \) Gl. 261
Gl. 260 wird n-fach durch Anwendung der Produktregel differenziert, um in die Normalform der DGL eingesetzt werden zu können. Dies geschieht jedoch mit gewissen Bedingungen:
\( \dot y = {\dot C_1}{y_1} + {C_1}{\dot y_1} + {\dot C_2}{y_2} + {C_2}{\dot y_2} + .... + {\dot C_n}{y_n} + {C_n}{\dot y_n} \) Gl. 262
Nebenbedingung, die Summe aller einmal differenzierten Konstanten wird Null gesetzt:
\( {\dot C_1}{y_1} + {\dot C_2}{y_2} + .... + {\dot C_n}{y_n} = 0 \) Gl. 263
Die Einführung der Nebenbedingung vereinfacht zunächst das weitere Differenzieren
\( \ddot y = {\dot C_1}{\dot y_1} + {C_1}{\ddot y_1} + {\dot C_2}{\dot y_2} + {C_2}{\ddot y_2} + .... + {\dot C_n}{\dot y_n} + {C_n}{\ddot y_n} \) Gl. 264
Nebenbedingung
\( {\dot C_1}{\dot y_1} + {\dot C_2}{\dot y_2} + .... + {\dot C_n}{\dot y_n} = 0 \) Gl. 265
Bis schließlich
\( \mathop y\limits^{\left( n \right)} = {\dot C_1}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _1} + {C_1}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _1} + {\dot C_2}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _2} + {C_2}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _2} + .... + {\dot C_n}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _n} + {C_n}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _n} \) Gl. 266
alle Ableitungen vorliegen.
Nun können unter Beachtung der Nebenbedingungen die Ableitungen in Gl. 261 eingesetzt werden:
\( \begin{array}{l} { {\dot C}_1}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _1} + { {\dot C}_2}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _2} + .... + { {\dot C}_n}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _n} + \\{C_1}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _1} + {C_2}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _2} + .... + {C_n}{\mathop y\limits^{\left( n \right)} _n} + \\...\\{a_2}\left( { {C_1}{ {\ddot y}_1} + {C_2}{ {\ddot y}_2} + .... + {C_n}{ {\ddot y}_n} } \right) + \\{a_1}\left( { {C_1}{ {\dot y}_1} + {C_2}{ {\dot y}_2} + .... + {C_n}{ {\dot y}_n} } \right) + \\{a_0}\left( { {C_1}{y_1} + {C_2}{y_2} + {C_3}{y_3} + .... + {C_n}{y_n} } \right) \quad = g\left( t \right)\end{array} \) Gl. 267
Mit Ausnahme der ersten Zeile, stellen alle weiteren Zeilen die homogenen Lösungen der einzelnen partikulären Lösungen yn dar. Das hat zur Folge, dass diese Zeilen verschwinden, da die homogene Lösung in die DGL eingesetzt stets den Wert Null ergibt.
\( {\dot C_1}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _1} + {\dot C_2}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _2} + .... + {\dot C_n}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _n} = g\left( t \right) \) Gl. 268
Diese Gleichung und alle Nebenbedingungen enthalten die gesuchten Konstanten in der ersten Ableitung und können dem gemäß in ein lineares Gleichungssystem bestehend aus n Gleichungen für n Konstanten gebracht werden:
\( \begin{array}{l} { {\dot C}_1}{y_1} + { {\dot C}_2}{y_2} + .... + { {\dot C}_n}{y_n} & = 0 \\ { {\dot C}_1}{ {\dot y}_1} + { {\dot C}_2}{ {\dot y}_2} + .... + { {\dot C}_n}{ {\dot y}_n} & = 0 \\ { {\dot C}_1}{ {\ddot y}_1} + { {\dot C}_2}{ {\ddot y}_2} + .... + { {\dot C}_n}{ {\ddot y}_n} & = 0 \\ .... \\ { {\dot C}_1}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _1} + { {\dot C}_2}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _2} + .... + { {\dot C}_n}{\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} _n} = g\left( t \right)\end{array} \) Gl. 269
Die erste Ableitung der i-ten Konstante wird nach der CRAMERschen Regel gebildet
\( {\dot C_i} = \frac{ {\left| {\begin{array}{cc} { {y_1} } & { {y_2} } & {...} & 0 \\ { { {\dot y}_1} } & { { {\dot y}_2} } & {...} & 0 \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_1} } & { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_2} } & {...} & {g\left( t \right)}\end{array}\begin{array}{cc}{...} \\ {...} \\ {...} \\ {...} \end{array} \begin{array}{cc} { {y_n} }\\{ { {\dot y}_n} } \\ {} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_n} } \end{array} } \right|} }{ {\left| {\begin{array}{cc} { {y_1} } & { {y_2} } & {...} & { {y_i} } \\ { { {\dot y}_1} } & { { {\dot y}_2} } & {...} & { { {\dot y}_i} } \\ {...} & {...} & {...} & {...} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_1} } & { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_2} } & {...} & { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_i} }\end{array}\begin{array}{cc}{...}\\{...}\\{...}\\{...}\end{array}\begin{array}{cc}{ {y_n} } \\ { { {\dot y}_n} } \\ {} \\ { { {\mathop y\limits^{\left( {n - 1} \right)} }_n} } \end{array} } \right|} }; \qquad 1 \le i \le n \) Gl. 270
In bekannter Weise (siehe Gl. 247) werden die gesuchten (variierten) Konstanten nun durch Integration der aus Gl. 270 berechneten ersten Ableitungen gewonnen
\( d{C_i} = \left( { { {\dot C}_i} } \right)dt \) Gl. 271
\( {C_i}\left( t \right) = \int {\left( { { {\dot C}_i} } \right)dt} + {K_i} \) Gl. 272
Beispiel:
Die im vorigen Beispiel analysierte DGL \({F_a}\left( t \right) = m \cdot \ddot x + r \cdot \dot x + n \cdot x\) hat die homogene Lösung
\( x\left( t \right) = {c_1} \cdot {e^{ {\lambda _1}t} } + {c_2} \cdot {e^{ {\lambda _2}t} }\) mit \({\lambda _{1,2} } = - \delta \left( {1 \pm i\sqrt { { {\left( {\frac{ { {\omega_0} } }{\delta } } \right)}^2} - 1} } \right)\) im Schwingfall.
Ist \(\frac{ { {\omega _0} } }{\delta }\)o1 vereinfachen sich die Eigenwerte zu
\({\lambda _{1,2} } = - \delta \pm i{\omega _0}\) und die homogene Lösung wird
\(x\left( t \right) = {c_1}{e^{\left( { - \delta + i{\omega_0} } \right)t} } + {c_2}{e^{\left( { - \delta - i{\omega_0} } \right)t} }\) worin w0 die Resonanzfrequenz und d die Dämpfung des Systems bedeuten.
Gesucht ist die inhomogene Lösung, wenn \({F_a}\left( t \right) = \hat F \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) d.h. \(g\left( t \right) = \frac{ {\hat F} }{m} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\)
Die Rechnung wird vereinfacht, wenn auch die Störfunktion als e-Funktion geschrieben wird. Nach der EULERschen Beziehung gilt \(\sin \left( {\omega \cdot t} \right) = \Im m\left\{ { {e^{i\omega t} } } \right\}\). Damit kann die normalisierte Störfunktion auch als \( g\left( t \right) = \frac{ {\hat F} }{m} \cdot \Im m\left\{ { {e^{i\omega \cdot t} } } \right\} \) verstanden werden.
Lösung:
1. Berechnung der ersten Ableitungen der partikulären Lösungen
Die beiden partikulären Lösungen lauten
\({x_1}\left( t \right) = {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} }\) und \({x_2}\left( t \right) = {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} }\)
die entsprechenden ersten Ableitungen
\({\dot x_1}\left( t \right) = \left( { - \delta + i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} }\) und \({\dot x_2}\left( t \right) = \left( { - \delta - i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} }\)
2. WRONSKI-Probe
\(\left| {\begin{array}{cc}{ {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } }&{ {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } }\\{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } }&{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } }\end{array} } \right| = - i \cdot 2{\omega _0} \cdot {e^{ - 2\delta t} }\)
da ungleich Null, lineare Unabhängigkeit des Fundamentalsystems nachgewiesen.
3. Variation der Konstanten nach Gl. 270
\({\dot c_1} = \frac{ {\left| {\begin{array}{cc}0&{ {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } }\\{\frac{ {\hat F} }{m} \cdot {e^{i\omega t} } }&{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right) \cdot t} } }\end{array} } \right|} }{ { - i \cdot 2{\omega _0} \cdot {e^{ - 2\delta t} } } } = \frac{ {\frac{ {\hat F} }{m} \cdot {e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } } }{ {i \cdot 2{\omega _0} } }\)
\({\dot c_2} = \frac{ {\left| {\begin{array}{cc}{ {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } }&0\\{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right) \cdot {e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } }&{\frac{ {\hat F} }{m} \cdot {e^{i\omega t} } }\end{array} } \right|} }{ { - i \cdot 2{\omega _0} \cdot {e^{ - 2\delta t} } } } = - \frac{ {\frac{ {\hat F} }{m} \cdot {e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } } }{ {i \cdot 2{\omega _0} } }\)
4. Integration
\({c_1} = \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m} }\int { {e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} }dt + {\kappa _1} = } \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right]} }{e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } + {\kappa _1}\)
\({c_2} = - \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m} }\int { {e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} }dt + {\kappa _2} = } - \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right]} }{e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } + {\kappa _2}\)
5. Einsetzen in homogene Lösung der DGL
\(\begin{array}{l}x\left( t \right) = \left\{ {\frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right]} }{e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } + {\kappa _1} } \right\}{e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} }\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left\{ { - \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right]} }{e^{\left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right] \cdot t} } + {\kappa _2} } \right\}{e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} }\end{array}\)
Darin ist neben der inhomogenen auch die bereits bekannte homogene Lösung wieder zu finden
\(\begin{array}{l}x\left( t \right) = {\kappa _1}{e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } + {\kappa _2}{e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \left\{ {\frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega - {\omega _0} } \right)} \right]} } - \frac{ {\hat F} }{ {i \cdot 2{\omega _0}m \cdot \left[ {\delta + i\left( {\omega + {\omega _0} } \right)} \right]} } } \right\} \cdot {e^{i\omega \cdot t} }\end{array}\)
\(x\left( t \right) = {\kappa _1}{e^{\left( { - \delta + i{\omega _0} } \right)t} } + {\kappa _2}{e^{\left( { - \delta - i{\omega _0} } \right)t} } + \frac{ { {\delta ^2} - \left( { {\omega ^2} - \omega _0^2} \right) - i \cdot 2\delta \omega } }{ { { {\left[ { {\delta ^2} - \left( { {\omega ^2} - \omega _0^2} \right)} \right]}^2} + { {\left( {2\delta \omega } \right)}^2} } } \cdot \frac{ {\hat F} }{m}{e^{i\omega \cdot t} }\)