Wie entsteht eine Differenzialgleichung?
Die folgende Abbildung zeigt ein Feder-Masse-System, das durch eine äußere Kraft Fa(t) bewegt wird.
Die Aufgabe besteht jetzt darin, den zeitabhängigen Ort des Massenmittelpunktes zu bestimmen. Zunächst wird die Kräftebilanz ermittelt:
\( {F_a}\left( t \right) = {F_{masse}}\left( t \right) + {F_{reibung}}\left(t \right) + {F_{feder}}\left( t \right) \) Gl. 232
Werden die Kräfte auf ihre Ortskoordinaten zurückgeführt gelten
\( \begin{array}{l}{F_{masse}}\left( t \right) = m \cdot \ddot x \\ {F_{reibung}}\left( t \right) = r \cdot \dot x\\{F_{feder}}\left( t \right) = n \cdot x\end{array} \)
In Gl. 232 einsetzen ergibt:
\( {F_a}\left( t \right) = m \cdot \ddot x + r \cdot \dot x + n \cdot x \) Gl. 233
eine inhomogene Differenzialgleichung 2. Ordnung.
Hier wird deutlich, dass Differenzialgleichungen zur Beschreibung naturwissenschaftlicher Vorgänge eine wichtige Rolle spielen. Insbesondere sind es die Änderungen von Zuständen, die mit DGLn hervorragend beschrieben werden können.