Einführung: Einfache Gleichungen
Wir sprechen von einer „Gleichung“, wenn zwei Terme mit einem Gleichheitszeichen sinnvoll verbunden werden. Dabei soll der eine Term („Linksterm“) dem anderen Term („Rechtsterm“) im Wert entsprechen.
Ein einfaches Beispiel ist: 3 + 5 = 8
Beispiel: Die Gleichung 3 · 4 = 10 + 2 besagt, dass der Linksterm 3 · 4 den gleichen Wert hat wie der Rechtsterm 10 + 2.
Und richtig, beide Terme haben den Wert 12.
3 · 4 = 12
10 + 2 = 12
Eine Gleichung liegt nur dann vor, wenn ein Gleichheitszeichen = vorhanden ist, das zwei Terme sinnvoll in Zusammenhang bringt.
Gleichung mit Unbekannten
Ein Beispiel einer Gleichung mit einer Unbekannten ist:
x + 2 = 12
Diese Gleichung gilt nur, wenn x = 10 ist.
Kennen wir eine Zahl nicht (wir nennen sie „Unbekannte“ oder „Variable“), dann können wir die Gleichung so umstellen, dass sich der Wert der Variable ergibt.
Wir können mit Hilfe von Umformungen die Gleichung x + 2 = 12 wie folgt umstellen, um auf das Ergebnis zu kommen:
x + 2 = 12 | -2
x + 2 - 2 = 12 - 2
x + 0 = 10
x = 10
Dieses gleichwertige Umformen auf beiden Seiten der Gleichung nennen wir Äquivalenzumformung.
Arten von Gleichungen
Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen. Die wichtigsten sind im Folgenden aufgelistet:
1. Lineare Gleichungen
Beispiel: 3·x + 5 = 20
Allgemeine Form: a·x + b = 0
Artikel: Lineare Gleichungen
2. Quadratische Gleichungen
Beispiel: 7·x^2 + 3·x + 1 = 5
Allgemeine Form: a·x2 + b·x + c = 0
Artikel: Quadratische Gleichungen
3. Kubische Gleichungen
Beispiel: x3 + 3·x2 + 4·x + 5 = 0
Allgemeine Form: a·x3 + b·x2 + c·x + d = 0
Artikel: Kubische Gleichungen
Man nennt die vorstehenden Arten von Gleichungen „Polynomgleichungen“, da sie aus Polynomen bestehen.
Weiterhin gibt es im Wesentlichen folgende Gleichungen:
4. Bruchgleichungen
Beispiel: \( \frac{1}{x+3} = 5 \)
Allgemeine Form: –
Merkmal: Die Unbekannte kommt im Nenner eines Bruches vor.
Artikel: Bruchgleichungen
5. Exponentialgleichungen
Beispiel: 2x = 30
Allgemeine Form: ax = b
Merkmal: Die Unbekannte kommt im Exponenten vor.
Artikel: Exponentialgleichungen
6. Wurzelgleichungen
Beispiel: 3·√x = 50
Allgemeine Form: –
Merkmal: Die Unbekannte steht unter einer Wurzel.
Artikel: Wurzelgleichungen
7. Logarithmusgleichungen
Beispiel: log 2 x = 128
Allgemeine Form: –
Merkmal: Die Unbekannte steht im Numerus.
Artikel: Logarithmusgleichungen
8. Trigonometrische Gleichungen
Beispiel: sin(x) = 1
Allgemeine Form für Sinus: \( a · \sin(b·x + c) + d = 0 \)
Allgemeine Form für Kosinus: \( a · \cos(b·x + c) + d = 0 \)
Allgemeine Form für Tangens: \( a · \tan(b·x + c) + d = 0 \)
Merkmal: Die Unbekannte x steht im Argument einer trigonometrischen Funktion.
Artikel: Trigonometrische Gleichungen
9. Differentialgleichungen
Beispiel: f'(x) = 4
Allgemeine Form: –
Merkmal: Es kommt eine Ableitung (erste, zweite, dritte, ...) der gesuchten Funktion vor. Bei den Differentialgleichungen gibt es Unterscheidungen nach Typen ähnlich wie bei der Integration.
Artikel: Differentialgleichungen