Bearbeiten wir zusammen einige Aufgaben zu diesem Thema, die uns in solcher oder ähnlicher Form begegnen können.
1. Aufgabe: Bestimme x bei der Gleichung 2x + 3 = 11.
Bei vielen Aufgaben heißt es, dass man x bestimmen oder berechnen soll. Damit ist gemeint, dass man berechnen soll, welche Zahl man für x einsetzen muss, damit die Gleichung wahr ist.
Machen wir dies, indem wir die bereits bekannten Äquivalenzumformungen benutzen und somit versuchen, x alleine auf eine Seite der Gleichung zu bringen:
2·x + 3 = 11 | -3
2·x + 3 - 3 = 11 - 3
2·x = 8 | :2
x = 4
Unsere Gleichung gilt für x = 4.
Führen wir eine Probe durch und sehen, ob die Gleichung mit diesem x-Wert zu einer wahren Aussage führt:
2·x + 3 = 11 | x = 4
2·4 + 3 = 11
8 + 3 = 11
11 = 11
Wichtig: Man sollte immer zuerst schauen, ob man die Zahlen von der Seite, auf der die Variable steht, mit Hilfe von Addition oder Subtraktion beseitigen kann. Wendet man nämlich eine Multiplikation oder Division an, so müssen wir die komplette Seite der Gleichung mit dieser Zahl multiplizieren oder teilen. Würden wir bei unserer Aufgabe :2 rechnen, so hätten wir:
2·x + 3 = 11 | : 2
(2·x + 3) : 2 = 11 : 2
2·x:2 + 3:2 = 11 : 2
…
Wir erkennen: Alle Terme auf der linken Seite müssen durch 2 dividiert werden, nicht nur das 2·x.
Häufig wird genau hier ein Fehler gemacht, hier falsch dargestellt:
2x + 3 = 11 | :2
2x : 2 + 3 = 11 : 2 | ist falsch
(2x + 3) : 2 = 11 : 2 | ist richtig
2x:2 + 3:2 = 11:2 | ist richtig
Wir müssen unbedingt darauf achten, dass wir die Rechenoperationen korrekt auf beiden Seiten der Gleichung anwenden.
2. Aufgabe: Eine Zahl wird verdoppelt und um 3 erhöht, als Ergebnis erhält man 15.
Das Schwerste an solchen Aufgaben ist das Aufstellen der Gleichung. Wir müssen den Text durchlesen (manchmal auch mehrfach) und versuchen genau zu bestimmen, welcher Teil der Gleichung im Text für was steht.
Wir fangen also an und nehmen den Text auseinander, um aus den Angaben eine Gleichung aufzustellen:
- Eine Zahl: Wir haben also eine beliebige Zahl gegeben. Daraus schließen wir, dass wir eine Variable x benötigen: x
- wird verdoppelt: Also wird unsere Zahl x mal 2 gerechnet: x·2
- um 3 erhöht: Nach der Verdopplung wird also 3 auf die Zahl addiert: x·2 + 3
- als Ergebnis erhält man 15: Ein Ergebnis wird immer mit einem Gleichheitszeichen ausgedrückt: x·2 + 3 = 15
Damit haben wir unsere vollständige Gleichung aufgestellt: x·2 + 3 = 15
2·x + 3 = 15
Das lösen wir jetzt einfach nach x auf:
2·x + 3 = 15 | -3
2·x + 3 - 3 = 15 - 3
2·x = 12 | :2
x = 6
Die gesuchte Zahl (also unsere Lösung) ist somit die 6. Wenn wir die 6 einsetzen, dann stimmt die Gleichung.
3. Aufgabe: Gegeben ist ein Rechteck mit den Seitenlängen x und 2x.
Der Umfang des Rechtecks soll u = 48 cm sein. Bestimme die Seitenlängen des Rechtecks.
Um die Seitenlängen zu bestimmen, müssen wir x bestimmen. Wir wissen, dass der Umfang 48 cm lang sein soll. Außerdem wissen wir, dass der Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b berechnet wird mit: u = 2·a + 2·b
Wir kennen die Seitelängen mit x und 2·x, diese lassen sich einfach in die Formel einsetzen:
u = 2·a + 2·b | a = x und b = 2x
u = 2·(x) + 2·(2x)
u = 2·x + 4·x
u = 6·x
Jetzt ist unser Umfang gleich 48 cm, also erhalten wir:
u = 6·x | u = 48 cm
48 cm = 6·x
Das können wir einfach auflösen per Division:
6·x = 48 cm | :6
6·x:6 = 48:6 cm
x = 8 cm
Den Wert für x setzen wir noch für die beiden Seitenlängen ein:
a = x | x = 8 cm
a = 8 cm
b = 2·x | x = 8 cm
b = 2·8 cm
b = 16 cm
Damit haben wir unsere Aufgabe gelöst. Die eine Seitenlänge ist 8 cm lang, die andere 16 cm. Wir können zur Sicherheit noch die Probe machen:
2·a + 2·b = 48 cm | a = 8 cm und b = 16 cm
2·8 cm + 2·16 cm = 48 cm
16 cm + 32 cm = 48 cm
48 cm = 48 cm
Korrekt. Wir haben richtig gelöst. Das Rechteck sieht also so aus:
