Die binomischen Formeln sind uns bereits bekannt. Sie seien hier nochmals aufgeführt:
1. (a+b)² = a² + 2ab + b²
2. (a-b)² = a² - 2ab + b²
3. (a+b)·(a-b) = a² - b²
Die binomischen Formeln sind ein hilfreiches Werkzeug, um Terme zu vereinfachen oder Gleichungen zu lösen.
Eine Aufgabenstellung hierzu könnte lauten:
Vereinfache den folgenden Term mittels der binomischen Formeln: \( \frac{4 - 9}{2 - 3} \)
Hier ist es knifflig, eine binomische Formel zu erkennen. Doch schreiben wir 4 = 2² und 9 = 3², dann erkennen wir im Zähler die dritte binomische Formel, also das a² - b², und können diesen Term mit dem Nenner kürzen.
\( \frac{4-9}{2-3} = \frac{2^2-3^2}{2-3} = \frac{(2+3)(2-3)}{(2-3)} = 2+3 = 5 \)
Lasst uns den Wert ohne binomische Formel überprüfen, indem wir direkt ausrechnen:
\( \frac{4-9}{2-3} = \frac{-5}{-1} = 5 \)
Die binomischen Formeln, insbesondere die dritte binomische Formel, stellen eine Bereicherung an Hilfsmittel dar, mit der Terme einfach gekürzt werden können.
Ein weiteres Beispiel:
\( \frac{4x^2-1}{2x+1} \)
Es ist wichtig zu erkennen, dass 1 = 1² ist, denn nur dann versteht man, dass sich hier die dritte binomische Formel verbirgt:
= 4x²-1
= 2·2·x·x - 1·1
= 2·x·2·x - 1·1
= (2x)² - 1²
= (2x+1)·(2x-1)
Damit ergibt sich:
\( \frac{4x^2-1}{2x+1} = \frac{(2x+1)\cdot(2x-1)}{(2x+1)} = 2x-1 \)
Wir haben einen Term vereinfacht, der zuerst den Anschein vermittelt hatte, nicht gekürzt werden zu können.