Wir haben das Prinzip hinter der Polynomdivision erklärt. Schauen wir uns an, wie wir die Polynomdivision nun anwenden.
Anschließend wird die schriftliche Division Schritt für Schritt dargestellt, um die einzelnen Schritte besser aufzuzeigen. Wenn man selber rechnet, hat man nur eine Rechung. Diese Rechnung gleicht der letzten Rechnung, die im Beispiel benutzt wurde. Die einzelnen Gleichungen sind also nur als Ganzes vollständig.
(x2 - 4·x - 5) : (x - 5)
Wir müssen (x - 5) mit etwas multiplizieren, sodass wir die Elemente aus (x2 - 4·x - 5) erhalten. Als erstes wollen wir x2 erzeugen. Das machen wir, indem wir (x - 5) mit x multiplizieren, denn:
x · (x - 5) = x2 - 5·x
Man betrachtet also immer den höchsten Exponenten des Dividenden und versucht diesen zu erzeugen, indem man den höchsten Exponenten des Divisors mit etwas multipliziert.
Der erste Teil unserer Lösung ist also x. Wir schreiben schon mal:
(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x ...
Da wir (x - 5) mit x multiplizieren, müssen wir (x - 5)·x von (x2 - 4·x - 5) abziehen:
(x2 - 4·x - 5) - (x - 5)·x = (x2 - 4·x - 5) - (x2 - 5 · x) = (x2 - 4·x - 5) - x2 + 5 · x = x - 5
Das müssen wir jetzt noch in unsere Rechnung schreiben, wie bei der schriftlichen Division schon gemacht:
(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x...
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
Wir versuchen jetzt wieder den höchsten Exponenten des Rests (x - 5), also x, durch den höchsten Exponenten des Divisors, also auch hier x, darzustellen. Das schaffen wir durch eine Multiplikation mit 1. Wir können also die 1 an unsere Lösung heranhängen:
(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
Auch hier ziehen wir wieder 1·(x - 5) = x - 5 von dem Rest ab und erhalten:
(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0
Da unsere Division nun keinen Rest hat, haben wir als Ergebnis (x + 1).
Noch einmal die vollständige Rechnung, so wie sie bei euch auf dem Papier aussehen sollte:
(x2 - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1
-(x2 - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0
Machen wir noch einmal die Probe:
(x - 5) · (x + 1) = (x2 - 4·x - 5)
Wir haben also richtig dividiert.
Inwiefern hilft uns die Polynomdivision jetzt?
Haben wir eine Gleichung in dieser Form:
x2 - 4·x - 5 = 0
So können wir den linken Term als Linearfaktoren darstellen:
(x - 5) · (x + 1) = 0
Da bei einem Produkt nur einer der Faktoren 0 ergeben muss, damit das ganze Produkt 0 ergibt, können wir jetzt die Lösungen unserer Gleichung sogar ablesen. Es muss nämlich gelten:
(x - 5) = 0
oder
(x + 1) = 0
Als Lösungen haben wir somit x = -1 oder x = 5.
Anordnung der Potenzen
Beachtet, dass es wichtig ist, dass bei der Polynomdivision das Polynom in absteigender Reihenfolge angeordnet ist. Der höchste Exponent muss an erster Stelle stehen, danach der zweithöchste Exponent und so weiter. Das absolute Glied steht an letzter Stelle.
Wir müssen zum Beispiel folgendes Polynom umordnen, bevor wir versuchen, es zu lösen:
-3·x + 9 + x3 + x2 = 0
Umgeordnet:
x3 + x2 - 3·x + 9 = 0