Polynome und das Verfahren der Polynomdivision hatten wir bereits bei den kubischen Gleichungen ausführlich erklärt.
Im Folgenden wenden wir dieses Wissen an und berechnen ein Beispiel, bei denen wir die Nullstellen mit Hilfe der Polynomdivision bestimmen.
Polynomdivision: Nullstellen von f(x) = x² - 4·x - 5
Bekannt ist die Funktionsgleichung sowie eine Nullstelle bei x = 5. Um die zweite Nullstelle zu berechnen, können wir nun die Polynomdivision anwenden:
(x² - 4·x - 5) : (x - 5) = …
Schrittweise Überlegungen:
Wir müssen (x - 5) mit etwas multiplizieren, sodass wir die Elemente aus (x² - 4·x - 5) erhalten. Als erstes wollen wir x² erzeugen. Das machen wir, indem wir (x - 5) mit x multiplizieren, denn:
x · (x - 5) = x² - 5·x
Wir betrachten also immer den höchsten Exponenten des Dividenden und versuchen diesen zu erzeugen, indem wir den höchsten Exponenten des Divisors mit etwas multiplizieren.
Der erste Teil unserer Lösung ist also x. Wir schreiben schon mal:
(x² - 4·x - 5) : (x - 5) = x ...
Da wir (x - 5) mit x multiplizieren, müssen wir (x - 5)·x von (x² - 4·x - 5) abziehen:
(x² - 4·x - 5) - (x - 5)·x = (x² - 4·x - 5) - (x² - 5 · x) = (x² - 4·x - 5) - x² + 5 · x = x - 5
Das müssen wir jetzt noch in unsere Rechnung schreiben, wie bei der schriftlichen Division schon gemacht:
(x² - 4·x - 5) : (x - 5) = x...
-(x² - 5·x)
= 0 + x - 5
Wir versuchen jetzt wieder den höchsten Exponenten des Rests (x - 5), also x, durch den höchsten Exponenten des Divisors, also auch hier x, darzustellen. Das schaffen wir durch eine Multiplikation mit 1. Wir können also die 1 an unsere Lösung heranhängen:
(x² - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x² - 5·x)
= 0 + x - 5
Auch hier ziehen wir wieder 1·(x - 5)= x - 5 von dem Rest ab und erhalten:
(x² - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1 ....
-(x² - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0
Da unsere Division nun keinen Rest hat, haben wir als Ergebnis (x + 1). Unsere zweite Nullstelle liegt damit bei x = -1.
Noch einmal die vollständige Rechnung, so wie sie bei euch auf dem Papier aussehen sollte:
(x² - 4·x - 5) : (x - 5) = x + 1
-(x² - 5·x)
= 0 + x - 5
- (x - 5)
= 0
Machen wir noch einmal die Probe:
(x - 5) · (x + 1) = (x² - 4·x - 5)
Wir haben also richtig dividiert.