Haben wir keine Lösung (Nullstelle) vorgegeben, um mit der Polynomdivision zu beginnen, so müssen wir eine Lösung erraten. Für gewöhnlich macht man das, indem man ganze Werte um 0 in die Gleichung einsetzt.
Wir testen bei x3 + x2 - 3·x + 9 = 0 einfach mal ein paar Werte:
x3 + x2 - 3·x + 9 = 0 | x = 0
03 + 02 - 3·0 + 9 = 9
x3 + x2 - 3·x + 9 = 0 | x = 1
13 + 12 - 3·1 + 9 = 8
Das selbe machen wir auch für die Werte 2, 3, (-1), (-2), (-3).
Für x = -3 erhalten wir:
x3 + x2 - 3·x + 9 = 0 | x = -3
(-3)3 + (-3)2 - 3· (-3) +9 = -27 + 9 + 9 + 9 = 0
Damit hätten wir eine Lösung x = -3. Der dazugehörige Linearfaktor ist (x+3). Wir können nun eine Polynomdivision durch (x + 3) durchführen, um weitere Lösungen zu bestimmen.
Mit der Polynomdivision erhalten wir:
x3 + x2 - 3·x + 9 : (x + 3) = x2 - 2·x + 3
Um weitere Lösungen zu bestimmen, können wir auf das Ergebnis die p-q-Formel anwenden. Dann erhalten wir x1,2 = 1 ± √-2 (siehe Rechner).
Die Wurzel aus einem negativen Wert ist jedoch nicht definiert, daher gibt es keine weitere Lösung der Gleichung. Unser x = -3 ist die einzige Lösung.