Ist die Ableitung einer Originalfunktion zu einer Umkehrfunktion bekannt, kann daraus die Ableitung der Umkehrfunktion gewonnen werden.
Zunächst sei festgehalten, dass die Steigungen der Tangenten einer Funktion, die hier mit m angegeben sei, gleich dem Kehrwert der Steigung der inversen Funktion bei gleichem x ist.
Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass die Tangente der Originalfunktion \(f\left( x \right)\) proportional zu \(y \sim m \cdot x\) ist. Werden nun x und y vertauscht, ergibt sich die Tangente der Umkehrfunktion \({f^{ - 1} }\left( x \right)\) zu \(x \sim \frac{1}{m} \cdot y\), also reziprok zur Steigung der Originalfunktion.
Zu der gleichen Aussage gelangt man durch formale Umstellung des Differenzialquotienten:
\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\frac{ {dx} }{ {dy} } } } \) Gl. 68
Beispiel 1:
Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion \(y = \arcsin \left( x \right)\). Dies ist die Umkehrfunktion zu \(y = \sin \left( x \right)\). Die erste Ableitung lautet \( y' = \cos \left( x \right) \).
Lösung:
Zur Ableitung der Funktion \( y = \arcsin \left( x \right) \) ist diese nach x umzustellen. Das führt auf die bekannte sin-Funktion:
\( x = \sin \left( y \right)\) ⇒ \(\frac{ {dx} }{ {dy} } = \cos \left( y \right) \)
Einsetzen in Gl. 68
\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\frac{ {dx} }{ {dy} } } } = \frac{1}{ {\cos \left( y \right)} } \)
Anwendung des trigonometrischen Pythagoras
\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\sqrt {1 - { {\sin}^2}\left( y \right)} } } \)
Rücksubstitution
\( \frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\sqrt {1 - {x^2} } } } \)
Beispiel 2:
Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion \(y = \ln \left( x \right)\). Dies ist die Umkehrfunktion zu \(y = {e^x}\). Die erste Ableitung lautet \(y' = {e^x}\).
Lösung:
Zur Ableitung der Funktion \(y = \ln \left( x \right)\) ist diese nach x umzustellen. Das führt auf die bekannte Exponential-Funktion:
\(x = {e^y}\) ⇒ \(\frac{ {dx} }{ {dy} } = {e^y}\)
Einsetzen in Gl. 68
\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{ {\frac{ {dx} }{ {dy} } } } = \frac{1}{ { {e^y} } }\)
Rücksubstitution
\(\frac{ {dy} }{ {dx} } = \frac{1}{x}\)