Die zu differenzierende Funktion liegt als der Quotient von zwei (oder mehreren) Funktionen, deren Differenziale bekannt sind, vor.
\(y = f(x) = \frac{ {u(x)} }{ {v(x)} }\) Gl. 61
\( y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {\left. {\frac{ {f(x + \Delta x) - f(x)} }{ {\Delta x} } } \right|_{x = {x_1} } } = \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\frac{ {u(x + \Delta x)} }{ {v(x + \Delta x)} } - \frac{ {u(x)} }{ {v(x)} } } }{ {\Delta x} } \)
nach Gl. 58
\(y' = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\frac{ {\left( {u(x) + \Delta u(x)} \right) \cdot v(x)} }{ {\left( {v(x) + \Delta v(x)} \right) \cdot v(x)} } - \frac{ {u(x) \cdot \left( {v(x) + \Delta v(x)} \right)} }{ {\left( {v(x) + \Delta v(x)} \right) \cdot v(x)} } } }{ {\Delta x} }\)
gegenüber v(x) ist Δv(x) viel kleiner, folglich kann das Produkt \( \left( {v(x) + \Delta v(x)} \right) \cdot v(x)\) durch das Produkt \(v(x) \cdot v(x) = v{(x)^2} \) ersetzt werden:
\( y' = \frac{1}{ {v{ {(x)}^2} } }\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\left( {u(x) + \Delta u(x)} \right) \cdot v(x) - u(x) \cdot \left( {v(x) + \Delta v(x)} \right)} }{ {\Delta x} } \)
\( y' = \frac{1}{ {v{ {(x)}^2} } }\left( {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta u(x) \cdot v(x)} }{ {\Delta x} } - \mathop {\lim}\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {u(x) \cdot \Delta v(x)} }{ {\Delta x} } } \right) \)
\( y' = {\left( {\frac{ {u(x)} }{ {v(x)} } } \right)'} = \frac{ {v(x) · u'(x) - u(x) · v'(x)} }{ {v(x)^2 } } \) Gl. 62
Beispiel:
Gesucht ist die erste Ableitung der Funktion
\(y = f(x) = \frac{ {\sin (x)} }{x}\)
Lösung:
\(y' = \frac{ {v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)} }{ {v{ {(x)}^2} } } = \frac{ {x \cdot \cos (x) - 1 \cdot \sin (x)} }{ { {x^2} } }\)