Die Tangente, die an einer beliebigen Stelle x0 einer Funktion f(x) angelegt wurde, stellt in einem kleinen Bereich um den Punkt x0 herum eine Näherung der Funktion f(x) in diesem Punkt dar. Wie weit dieser Bereich gefasst werden kann, hängt vom Verlauf der Funktion – Funktionen mit starker Krümmung werden schlechter durch eine Gerade anzunähern sein, als solche mit geringer Krümmung -und von der geforderten Genauigkeit der Näherung ab.
Wie schon ausgeführt, ist das Differenzial einer Funktion in einem beliebigen Punkt gleich der Steigung der Tangente, die in diesem Punkt an die Funktion angelegt ist. Damit lässt sich die Geradengleichung der Tangente und damit der Gleichung der Näherung in diesem Punkt der Funktion bestimmen (Abbildung 15),
mit:
\( y' = f'(x) = \frac{ {dy} }{ {dx} } = \tan \alpha \) Gl. 101
als Steigung der Funktion f(x)
wird die Geradengleichung zu
\( \tilde y({x_0} + \Delta x) = f'({x_0}) \cdot \Delta x + f({x_0}) \) Gl. 102
Oder, wenn für \(\Delta x = x - {x_0}\) x als variabel eingesetzt wird,
\( \tilde y(x) = f'({x_0}) \cdot \left( {x - {x_0} } \right) + f({x_0}) \) Gl. 103
Näherungsformel für Binome beliebiger Potenz
Funktionen vom Typ
\( y = f(x) = {(1 + x)^n}; \quad n \in R\, \text{ wobei } x\, < < 1 \) Gl. 104
wobei x0 = 0 und f(x0) = 1 (da x0 = 0 darf Δx → x gesetzt werden)
werden entsprechend Gl. 102 angenähert durch:
\( \tilde y(1 + x) = f'(0) \cdot x + 1 = n \cdot x + 1\) wobei \(f'(x) = n \cdot {\left( {1 + x} \right)^{n - 1} } \) Gl. 105
Beispiele:
Es sei die Quadratwurzel von 10 zu bestimmen.
Die Quadratwurzel von 9 ist gleich 3.
\( y = \sqrt {10} = \sqrt {9 + 1} = 3 \cdot \sqrt {1 + \frac{1}{9} } = 3 \cdot {(1 + 0,11...)^{\frac{1}{2} } } \)
\(\tilde y(10) = 3 \cdot \left( {1 + \frac{1}{2} \cdot 0,11...} \right) = 3,1666...\)
der genaue Wert beträgt: 3,162278
Es sei die fünfte Potenz von 2,1 zu bestimmen.
Zunächst ist die Normalform zu bestimmen, daher wird 2 ausgeklammert:
\(2,1 = 2 \cdot (1 + 0,05); \quad {2^5} = 32\)
Anwendung von Gl. 105:
\(y = 32 \cdot f(0,05) = 32 \cdot {(1 + 0,05)^5}\,\)
\( \tilde y(2,1) = 32\left[ {5 \cdot 0,05 + 1} \right] = 40 \); der genaue Wert beträgt: 40,84101
Näherungsformeln für trigonometrische Funktionen
Für kleine Werte von x (im Bogenmaß!) gilt
\( \sin \left( {0 + x} \right) \approx {\left. {\frac{ {d\sin \left( x \right)} }{ {dx} } } \right|_{x = 0} } \cdot x + \sin \left( 0 \right) = \cos \left( 0 \right) \cdot x + 0 = 1 \cdot x = x \) Gl. 106
also
\( \sin \left( x \right) \approx x \) Gl. 107
Im Falle der cos-Funktion muss zudem noch eine weitere Näherung benutzt werden:
\( \cos \left( {0 + x} \right) \approx {\left. {\frac{ {d\cos \left( x \right)} }{ {dx} } } \right|_{x = 0} } \cdot x + \cos \left( 0 \right) = -\sin \left( {0 + x} \right) \cdot x + 1 = - x \cdot x + 1 \) Gl. 108
aus Gl. 107 folgt schließlich
\( \cos \left( x \right) \approx 1 - {x^2} \) Gl. 109
\( \tan \left( x \right) \approx \frac{x}{ {1 - {x^2} } } \) Gl. 110
Beispiel:
Gesucht wird der Wert von cos(2°).
Umwandeln des Winkels in Bogenmaß \(2\pi \cdot \frac{ { {2^0} } }{ { { {360}^0} } } = {\rm{0} }{\rm{,03491} }\), damit ergibt sich näherungsweise der gesuchte Cosinus zu
\(c{\rm{os} }\left( { {\rm{0} }{\rm{,03491} } } \right) = 1 - {\rm{0} }{\rm{,03491} } = {\rm{0} }{\rm{,99878} }\)
Der exakte Wert beträgt: 0,99939