Es war das ursprüngliche Anliegen der Integralrechnung Flächen, die von Kurven eingeschlossen sind, zu berechnen. Der allgemeine Fall ist die Berechnung von Flächen zwischen zwei Kurven (Abbildung 22).
Die Berechnung der zwischen den Funktionen f1(x) und f2(x) eingeschlossenen Fläche erfolgt dadurch, dass zunächst die Flächen unter den einzelnen Kurven bis zur x-Achse berechnet und anschließend von einander subtrahiert werden:
\( F = {F_1} - {F_2} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f_1}(x)dx - } \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {f_2}(x)dx = } \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\left( { {f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)dx} \) Gl. 159
Es ist offensichtlich, dass die Berechnung der Fläche unter einer einzelnen Kurve als Sonderfall von Gl. 159 angesehen werden kann.
Beispiel 1:
Es sei die Fläche zwischen einem Kreisbogen um den Koordinatenursprung mit dem Radius R = 2 und einer zur x-Achse im Abstand von a = 1 parallel verlaufenden Geraden zu bestimmen.
Lösung:
Mit der Kreisgleichung \(y = \pm \sqrt { {R^2} - {x^2} } \) (nach Pythagoras) für den Vollkreis und der Einschränkung auf den positiven Halbkreis wird Gl. 159 zu:
\( F = {F_1} - {F_2} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sqrt{ {R^2} - {x^2} } dx - } \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {a \cdot dx} \)
Nun müssen die Integrationsgrenzen x1 und x2 bestimmt werden:
\(y - a = \sqrt { {R^2} - {x_{1,2} }^2} - a = 0\)
\({R^2} - {x_{1,2} }^2 = {a^2} \quad \Rightarrow \quad {x_{1,2} } = \pm \sqrt { {R^2} - {a^2} } \)
Die Lösung für das Integral wurde im Kapitel Substitutionsverfahren, Beispiel 3 bereits hergeleitet (wobei aber hier die Rücksubstitution ausgeführt wurde):
\(F = \left. { {R^2}\frac{1}{2}\left( {\arcsin \frac{x}{R} + \frac{x}{ { {R^2} } }\sqrt { {R^2} - {x^2} } } \right)} \right|_{ {x_1} }^{ {x_2} } \)
Da beide Summanden ungerade Funktionen sind, addieren sich die Integralwerte für die obere und untere Grenze:
\(F = {R^2}\left( {\arcsin \frac{ {\sqrt { {R^2} - {a^2} } } }{R} + \frac{ {\sqrt { {R^2} - {a^2} } } }{ { {R^2} } }a} \right)\)
Einsetzen von R = 2 und a = 1:
\(F = 4\left( {\arcsin \frac{ {\sqrt{3} } }{2} + \frac{ {\sqrt 3 } }{4}1} \right) = 1,480...\)
Beispiel 2:
Es sei die gleiche Aufgabe wie in Beispiel 1 mit Hilfe der Polarkoordinate- Darstellung zu lösen.
Lösung: Zunächst wird ermittelt, wie die Berechnung von infinitesimalen Flächenelementen erfolgen kann. Das Flächenelement dF wird durch ein Dreieck angenähert, dass flächenmäßig dem halben Rhombus, dessen Fläche durch das Produkt Seitenlänge (R) mal Höhe R×sin(dj)»R×dj gegeben ist:
\( dF = \frac{1}{2} \cdot {R^2} \cdot d\phi \)
Durch Integration wird die gesuchte Fläche gefunden. Im Falle des Kreises ist der Radius unabhängig vom Winkel, kann also als Konstante vor das Integral gezogen werden:
\( F = \frac{1}{2}{R^2}\int\limits_{ {\phi _1} }^{ {\phi _2} } {d\phi } = \frac{1}{2}{R^2}\left( { {\phi _2} - {\phi _1} } \right) \)
Die Integrationsgrenzen werden, da hier über einen Winkel integriert wird, so ermittelt:
\( \sin {\phi _{1,2} } = \frac{a}{R} \quad \Rightarrow \quad {\phi _1} = \arcsin \frac{a}{R};\,\,\,{\phi _2} = \pi - \arcsin \frac{a}{R} \)
einsetzen
\( F = \frac{1}{2}{R^2}\left( {\pi - 2 \cdot \arcsin \frac{a}{R} } \right) = {R^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \arcsin \frac{a}{R} } \right) \)
Der Flächenanteil, herrührend von der eingrenzenden Linie a, wird übernommen, da dessen Berechnung in Polarkoordinaten unvorteilhaft ist. Daher lautet der Ausdruck für die Differenzfläche:
\(F = {R^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \arcsin \frac{a}{R} + \frac{ {\sqrt { {R^2} - {a^2} } } }{ { {R^2} } }a} \right)\)
mit den Werten für R = 2 und a = 1 ergibt sich:
\(F = 4\left( {\frac{\pi }{2} - \arcsin \frac{1}{2} + \frac{ {\sqrt{3} } }{4}1} \right) = 1,480...\)