Die Integration ist die inverse Operation der Differenziation und umgekehrt.
Es gilt:
\( \frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = f(x) \quad \Rightarrow \quad F\left( x \right) = \int {f(x)dx} \) Gl. 126
Beweis:
\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {f(x + \Delta x)dx - \int {f(x)dx} } } }{ {\Delta x} }\) und da \(f\left( {x + \Delta x} \right) = f(x) + \Delta f(x)\) Gl. 127
\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {\left( {f(x) + \Delta f(x)} \right)dx - \int {f(x)dx} } } }{ {\Delta x} }\) Gl. 128
Auflösung der Summe unter dem Integral nach Gl. 125:
\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {f(x)dx + \int {\Delta f(x)} dx - \int {f(x)dx} } } }{ {\Delta x} } \) Gl. 129
\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\int {\Delta f(x)dx} } }{ {\Delta x} }\) Gl. 130
\(\frac{ {dF(x)} }{ {dx} } = \int {\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{ {\Delta f(x)} }{ {\Delta x} } } dx = \int {\frac{ {df(x)} }{ {dx} } } dx = \int {df(x)} = f(x)\) Gl. 131
q.e.d.
Weil nun nach jeder Differenziation konstante Summanden zu Null werden, gilt für beliebige Werte von C stets:
\(\frac{ {d\left( {F(x) + C} \right)} }{ {dx} } = f(x)\) Gl. 132
Folglich ist im Umkehrschluss stets zu berücksichtigen, dass bis auf eine konstante Größe C jede integrierte Funktion eindeutig bestimmt ist:
\(F\left( x \right) = \int {f(x)} dx\,\, + \,\,C\) Gl. 133
Abbildung 19 veranschaulicht, dass alle drei Funktionen die gleiche Ableitung haben.
Umgekehrt bedeutet das, dass das Integral der Funktion f(x) beliebig viele Lösungen haben kann, die aber bis auf eine Konstante C gleich sind.