Das Substitutionsprinzip beruht auf einer geeigneten Wahl des Substituenten, der sich am Typ des Integranden orientiert. So werden
a) Integrale vom Typ
\( F\left( x \right) = \int {f(x)} dx = \int {f(\phi (x))} dx \) Gl. 137
wobei \(\phi \left( x \right) = a \cdot x + b\)
durch die Substitution der inneren Funktion gelöst, wenn das Integral der Funktion \(F\left( x \right) = \int {f(x)} dx\) bekannt ist. Mit der Substitution
\( z = \phi (x) \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = \phi ' \) Gl. 138
wird Gl. 137 zu
\( F\left( z \right) = \int {f(z)} \frac{ {dz} }{ {\phi '(x)} } + C \) Gl. 139
Beispiel:
Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int { { {\left( {ax + b} \right)}^3} } dx\).
Substitution: \( z = \left( {ax + b} \right) \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = a \)
Damit wird: \( F\left( x \right) = \frac{1}{a}\int { { {\left( z \right)}^3} } dz = \frac{1}{ {4a} }{z^4} + C \)
Rücksubstitution: \( F\left( x \right) = \frac{1}{ {4a} }{\left( {ax + b} \right)^4} + C \)
b) Integrale vom Typ
\( F\left( x \right) = \int {f(x)} dx = \int {f(\phi (x))} \phi '\left( x \right)dx \) Gl. 140
Werden wie folgt behandelt:
\( \phi '(x) = \frac{ {d\phi } }{ {dx} } \) Gl. 141
Einsetzen von Gl. 141 in Gl. 140 ergibt:
\( F\left( x \right) = \int {f(\phi (x))} \frac{ {d\phi } }{ {dx} }dx = \int {f(\phi (x))} d\phi \) Gl. 142
In diesem Fall lautet die Substitution:
\(z = \phi (x)\) Gl. 143
Beispiel 1:
Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int {\sin x \cdot \cos x\,} dx\). Typ: \( F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right)\,} dx \)
Substitution: \( z = \sin x \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = \cos x \)
ergibt: \(F\left( z \right) = \int {z\,} dz = \frac{1}{2}{z^2} + C\)
Rücksubstitution: \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{\sin^2}\left( x \right) + C\)
Beispiel 2:
Gesucht ist \( F\left( x \right) = \int {\frac{ {\ln x} }{x}\,} dx\). Typ: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right) \cdot f'\left( x \right)\,} dx \)
Substitution: \( z = \ln x \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = \frac{1}{x} \)
ergibt: \( F\left( z \right) = \int {z\,} dz = \frac{1}{2}{z^2} + C \)
Rücksubstitution: \( F\left( x \right) = \frac{1}{2}{\left( {\ln x} \right)^2} + C \)
Beispiel 3:
Gesucht ist \( F\left( x \right) = \int {\frac{ {\sin x} }{ {\cos x} }\,} dx\). Typ: \( F\left( x \right) = \int{\frac{ {f'\left( x \right)} }{ {f\left( x \right)} }\,} dx \)
Substitution: \( z = \cos x \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dz} }{ {dx} } = - \sin x \)
ergibt: \(F\left( z \right) = \int {\frac{ {\sin x} }{z}\,} \frac{1}{ { - \sin x} }dz = \int {\frac{1}{ { - z} }\,} dz = - \int {\frac{1}{z}\,} dz = - \ln (z) + C\)
Rücksubstitution: \(F\left( x \right) = - \ln \left( {\cos x} \right) + C\)
Beispiel 3 zeigt, dass die geeignete Wahl der Substitution sehr wichtig ist. Denn eine Substitution gemäß \(F\left( x \right) = \int{\frac{ {f\left( x \right)} }{ {f'\left( x \right)} }\,} dx\) wäre nicht erfolgreich gewesen.
c) Integrale vom Typ
\( F\left( x \right) = \int {f\left( {\sqrt { {a^2} - {x^2} } } \right)} dx \) Gl. 144
Werden durch Substitution von \(x = a\sin \left( z \right) \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dx} }{ {dz} } = a\cos \left( z \right)\) gelöst. Der Wurzelausdruck vereinfacht sich durch die Substitution zu:
\(\sqrt { {a^2} - {x^2} } = a\sqrt {1 - { {\sin }^2}(z)} = a\cos (z)\)
Der Ausdruck \( f\{ \} \) steht hierbei für beliebige rationale Formen des Argumentes der Funktion f. Ausdrücke wie \( f\{ \}^n \) oder \( \frac{f\{ \}^n}{f\{ \}^m} \), wobei n, m ∈ Z.
Beispiel 3:
Gesucht ist die von einem Vollkreis mit dem Radius R eingeschlossene Fläche. Die beschreibende Funktion lautet: \(y = \pm \sqrt { {R^2} - {x^2} } \) (Satz des Pythagoras). Da der Kreis symmetrisch zur x-Achse ist, genügt es, die Fläche des positiven Halbkreises zu berechnen und den so gefundenen Wert zu verdoppeln.
\( F = 2 \cdot \int\limits_{ - R}^R {\sqrt { {R^2} - {x^2} } dx} \)
Substitution: \( x = R\sin \left( z \right) \quad \Rightarrow \quad \frac{ {dx} }{ {dz} } = R\cos \left( z \right) \)
Diese Substitution verändert auch die Integrationsgrenzen:
aus \( x = \pm R \quad \Rightarrow \quad z = \pm \frac{\pi }{2} \)
ergibt: \( F = 2 \cdot \int\limits_{ - R}^R {\sqrt { {R^2} - {x^2} } dx} = 2 \cdot \int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} {R \cdot \cos (z) \cdot R \cdot \cos (z)dz = 2 \cdot {R^2}\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} { { {\cos }^2}(z)dz} } \)
dieses Integral wird durch partielle Integration gelöst und ergibt:
\( F = 2 \cdot {R^2}\int\limits_{ - \pi /2}^{\pi /2} { { {\cos}^2}(z)dz} = \left. {2 \cdot {R^2}\frac{1}{2}\left( {z + \sin (z) \cdot \cos (z)} \right)} \right|_{ - \pi /2}^{\pi /2} \)
da cos(±p/2)=0: \(F = {R^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \left( { - \frac{\pi }{2} } \right)} \right) = \pi \cdot {R^2}\)
d) Integrale vom Typ
\(F\left( x \right) = \int {f\left( {\sqrt { {a^2} + {x^2} } } \right)} dx\) Gl. 145
Werden analog zu c) durch Substitution von \(x = a\sinh \left( z \right)\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\frac{ {dx} }{ {dz} } = a\cosh \left( z \right)\) gelöst. Die Substitution mit Hilfe der Hyperbolicus-Funktionen beruht auf deren Eigenschaft, dass
\( {\cosh ^2}\left( x \right) - {\sinh ^2}\left( x \right) = 1 \) Gl. 146
Der Wurzelausdruck vereinfacht sich durch die Substitution zu:
\(\sqrt { {a^2} + {x^2} } = a\sqrt {1 + { {\sinh }^2}(z)} = a\cosh (z)\)
e) Integrale vom Typ
\( F\left( x \right) = \int {f\left( {\sqrt { {x^2} - {a^2} } } \right)} dx \) Gl. 147
werden durch Substitution von \(x = a\cosh \left( z \right)\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\frac{ {dx} }{ {dz} } = a\sinh \left( z \right)\) gelöst. Der Wurzelausdruck vereinfacht sich durch die Substitution zu:
\( \sqrt { {x^2} - {a^2} } = a\sqrt { { {\cosh }^2}(z) - 1} = a\sinh (z) \)
f) Integrale vom Typ
\( F\left( x \right) = \int {f(\sin (x);\cos (x);\tan (x);\cot(x))} dx \) Gl. 148
wobei f{} auch hier für eine beliebige rationale Operation steht, werden durch Substitution von
\( z = \tan \left( {\frac{x}{2} } \right) \Rightarrow x = 2\arctan \left( z \right) \Rightarrow \quad \frac{ {dx} }{ {dz} } = \frac{2}{ {1 + {z^2} } } \) Gl. 149
gelöst. Allerdings gestaltet sich die Ausführung der Substitution des Integranden aufwändiger als in den vorangegangenen Fällen.
Ohne Herleitung seien hier aufgeführt:
\( \sin (x) = \frac{ {2z} }{ {1 + {z^2} } }; \quad \cos (x) = \frac{ {1 - {z^2} } }{ {1 + {z^2} } }; \quad \tan (x) = \frac{ {2z} }{ {1 - {z^2} } }; \quad \cot(x) = \frac{ {1 - {z^2} } }{ {2z} } \)
Beispiel 4:
Gesucht ist \(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{ {\sin(x)} } } dx\).
Substitution entsprechend Gl. 149
\(F\left( x \right) = \int {\frac{1}{ {\sin (x)} } } dx \quad \Rightarrow \quad \int {\frac{ {1 + {z^2} } }{ {2z} }\frac{2}{ {1 + {z^2} } } } dz = \ln (z)\)
Rücksubstitution:
\( F\left( x \right) = \int {\frac{1}{ {\sin (x)} } } dx = \ln (\tan \frac{x}{2}) \)