Die wichtigsten Eigenschaften von zweistelligen Relationen auf die gleiche Menge sind:
Reflexivität
Eine Relation ist reflexiv (rückbezogen), wenn ∀x∈M: xRx
Beispiele:
a) a = a Gleichheitsrelation gilt immer
b) Ich bin ich!
Das Gegenteil dazu ist
Irreflexivität
Eine Relation ist irreflexiv, wenn ¬∃x∈M: xRx
Beispiele:
a) ¬(a < a) Kleiner-Relation gilt nie.
b) Es gibt keinen Sohn, der sein Vater ist.
Symmetrie
Eine Relation ist symmetrisch, wenn ∀(x,y)∈M: xRy ⇒ yRx
Beispiele:
a) a = b ⇒ b = a
b) Ich bin Sohn von Paul. ⇒ Paul ist mein Vater.
Asymmetrie
Eine Relation ist asymmetrisch, wenn ¬∃(x,y)∈M: xRy ⇒ ¬yRx
Beispiele:
a) a > b ⇒ ¬(b > a)
b) Ich bin Sohn meines Vaters. ⇒ Mein Vater ist nicht mein Sohn.
Antisymmetrie
Eine Relation ist antisymmetrisch, wenn ∀(x,y)∈M: xRy ∧ yRx ⇒ x = y
Beispiel:
a ≥ b ∧ b ≥ a ⇒ a = b
Transitivität
Eine Relation ist transitiv (übertragbar), wenn ∀(x,y,z)∈M: xRy ∧ yRz ⇒ xRz
Beispiele:
a) (a > b) ∧ (b > c) ⇒ a > c
b) Paul ist Vorfahre von Peter und Peter ist Vorfahre von Ernst. ⇒ Paul ist Vorfahre von Ernst.