Nach der Definition sind Mengen ungeordnete Zusammenfassungen von Elementen. Mit Hilfe von Relationen können die Elemente von Mengen nunmehr geordnet werden. Intuitiv ist klar, dass man die Menge von ganz bestimmten Dingen im Sinne einer zu bestimmenden Ordnungsrelation ordnen kann.
Beispiel:
Wird die Menge aller Schüler einer Klasse betrachtet, so können die Schüler der Körpergröße nach geordnet ("größer oder gleichgroß") werden. Dann ist es möglich, die Schüler dieser Klasse im Sinne der Ordnungsrelation so in einer Reihe aufzustellen, dass links der kleinste Schüler, rechts der größte Schüler steht.
In der Mathematik sind Ordnungsrelationen Verallgemeinerungen der "kleiner-gleich"-Beziehung. Sie erlauben es, Elemente einer Menge nach bestimmten Kriterien miteinander zu vergleichen.
Eine Ordnungsrelation ist formal eine zweistellige Relation auf einer Menge M mit bestimmten, unten genannten Eigenschaften.
Ist eine Menge M mit einer Ordnungsrelation R gegeben, dann nennt man das Paar (M, R) eine geordnete Menge.
Schreibweise
Statt a R b schreibt man meist (je nach Art der Ordnung)
a ≤ b oder a < b die so geordnete Menge (M, ≤) oder (M, <)
a ° b oder a ≺ b die so geordnete Menge (M, °) oder (M, ≺)
A ⊆ B oder A ⊂ B die so geordnete Menge (M, ⊆) oder (M, ⊂).
Die Ordnung wird also gemäß einer Relation, in der die Elemente der Menge zu einander stehen, vorgenommen. Allerdings führt nicht jede Relation zu einer Ordnung! So kann die Relation „ = “ nicht für die Ordnung von Mengen verwendet werden.