Im Bereich der Zahlen sind Funktionen von elementarer Bedeutung. Funktionen bilden Werte der unabhängigen Variablen x auf Funktionswerte y ab: x → y. Das ist gleichbedeutend mit der Aussage „Die Menge X wird auf die Menge Y abgebildet“:
\( f : X → Y \) Gl. 20
Umgekehrt können die Funktionswerte y ihren Originalwerten x zu geordnet werden. Dies leistet die Umkehrfunktion
\( f^{-1} : Y → X \) Gl. 21
Werden mehrere Abbildungen nacheinander angewandt, kommt die Kettenregel zur Anwendung (Abbildung 13).
Die Originalmenge X wird durch die Funktion f der Menge Y und diese wiederum durch die Funktion g der Menge Z zugeordnet. Die Anwendung der Kettenregel vermeidet den Umweg über die Zwischenmenge Y, indem die Einzelfunktionen f und g zu einer neuen Funktion \( (f \circ g) \) zusammengefasst werden.
\( x_1 ≠ x_2 ⇒ f(x_1) ≠ f(x_2) \) Gl. 22
Beispiel:
Die Funktion y = x + 1 ist injektiv. Die Funktion y = x² hingegen ist nicht injektiv, da zum Beispiel (-x)² = (+x)².
\( y = f(x), \; y ∈ Y ⇒ ∃ x ∈ X \) Gl. 23
Beispiel:
Die Funktion \( y = x + 1 \) mit \( y, x ∈ ∞ \) ist surjektiv, da es für jedes y ein zugehöriges x gibt. Die Funktion \( y = x^2 \) mit \( y, x ∈ ∞ \) ist hingegen nicht surjektiv, da es z.B. für y = 2 kein \( x ∈ ∞ \) gibt. Ebenso ist \( y, x ∈ \mathbb{R} \) nicht surjektiv, da es für y = -1 kein \( x ∈ \mathbb{R} \) gibt. Aber für \( x ∈ \mathbb{R} \) und \( y ∈ \mathbb{R}^{+} \) ist \( y = x^2 \) surjektiv!
Beispiel:
\( f: R→R \) ist f(x) nicht injektiv und nicht surjektiv, denn die Abbildung ist nicht eindeutig und es gibt nicht zu jedem y ein x.
\( f: R | x ≥ 0 → R \) ist f(x) injektiv aber nicht surjektiv, denn die Abbildung ist zwar eindeutig, aber noch immer fehlt zu jedem y das passende x.
\( f: R → R | y ≥ 1 \) ist f(x) nicht injektiv aber surjektiv, denn die Abbildung ist nicht eindeutig, aber es gibt zu jedem y mindestens ein x.
\( f: R | x ≥ 0 → R | y ≥ 1 \) ist f(x) bijektiv (injektiv und surjektiv), denn die Abbildung ist eindeutig und es gibt zu jedem y ein x.