Eine Relation beschreibt eine Beziehung zwischen den Elementen einer Menge \( M \) und den Elementen einer Menge \( N \) (oft ist \( M = N \)). Die Relation sondert aus der Menge aller Paare \( (m, n) \) (mit \(m \in M\) und \(n \in N\)) diejenigen aus, die diese Beziehung erfüllen. Mathematisch wird eine Relation daher als Teilmenge der Menge aller möglichen Paare \( (m, n) \) definiert, also als Teilmenge des kartesischen Produkts: \(R \sube M \times N\).
Die am häufigsten auftretenden Relationen betreffen Beziehungen zwischen zwei Elementen, daher werden diese Relationen auch „zweistellig“ oder „binär“ genannt.
Wichtige Relationen
Zu den wichtigsten mathematischen Grundstrukturen gehören "Gleichheit" und "Ordnung". Was verstehen Mathematiker darunter? Die Grundidee ist jeweils recht leicht zu vermitteln.
Ordnungsrelationen:
>, <, ≥, ≤ (größer, kleiner, größer oder gleich, kleiner oder gleich)
≺, ≻, °, ± (Vorgänger, Nachfolger, Vorgänger oder identisch, Nachfolger oder identisch)
⊂, ⊆ (echte Teilmenge, Teilmenge: die Ordnung erfolgt in Bezug auf die Mächtigkeit).
Gleichheitsrelation:
= (gleich)
Beispiele:
Mengenrelationen können sein:
a > b, b < a (3 > –5, 2 < 6)
a = b (4 = 6 - 2)
a ≺ b, a ° b (3 ≺ 4, 4 ° 4)
Aber auch Aussagen sind Relationen:
„Herr Müller liest Zeitung.“ ← „lesen“ ist hier die Relation zwischen Herrn Müller und der Zeitung.
„Peter ist Sohn von Paul.“ ← „Sohn sein“ ist die Beziehung zwischen Peter und Paul.
Schreibweise:
a R b alternativ wird auch (a,b) ∈ R verwendet.
Zwei Fälle sind zu unterscheiden:
R ist eine Relation zwischen den Mengen M und N. ⇔ R ⊆ M × N
R ist eine Relation in der Menge M. ⇔ R ⊆ M × M (hier am Beispiel zweistelliger Relationen ausgeführt).
Weil Relationen die Beziehungen zwischen Elementen beschreiben, ist die Menge aller möglichen Relationen gleich dem kartesischen Produkt der in Relation stehenden Mengen. Da aber nicht alle Beziehungen wirklich genutzt werden, ist die Menge aller Relationen besser als Untermenge des kartesischen Produktes zu verstehen.
Beispiel:
\( M = \{1, 2, 3\}; \\ R = \{ (1,3), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3) \}; \\ m,n ∈ M \)
Maximal sind aber 9 Relationen möglich, da |M×M| = |M||M| = 3·3 = 9. Entsprechend:
\( R = \{ (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) \}; \)