Die Kehrwertfunktion von Tangens ergibt sich mit:
f(x) = tan(x) | Kehrwert bilden
g(x) = \( \frac{1}{\tan(x)} \)
Die Kehrwertfunktion nennen wir „Kotangens“. Abkürzung: cot(x)
Wenn wir sie am Dreieck verstehen wollen, setzen wir Gegenkathete und Ankathete ein:
f(x) = tan(x) = \( \frac{GK}{AK} \) | Kehrwert bilden
g(x) = \( \frac{1}{\frac{GK}{AK}} = \frac{AK}{GK} \)
Diese Kehrwertfunktion gibt uns an, in welchem Verhältnis die Ankathete zur Gegenkathete steht.
Zeichnen wir ihren Graphen:
~plot~ 1/tan(x);noinput ~plot~
Wir erkennen, dass die Kotangensfunktion alle reellen Zahlen als Wertebereich hat.
Ist cot(90°) definiert?
Beim Kotangens gibt es eine wichtige Sache, die wir beachten müssen. Wie wir wissen ist tan(90°) nicht definiert. Wenn wir jetzt sagen würden:
\( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \)
dann hieße das bei x = 90°:
\( \cot(90°) = \frac{1}{\tan(90°)} \)
Und da tan(90°) nicht definiert ist, ist \( \frac{1}{\tan(90°)} \) ebenfalls nicht definiert, womit auch cot(90°) nicht definiert wäre.
Aber: Kotangens ist definiert als Ankathete durch Gegenkathete und damit auch schreibbar als cos(x) durch sin(x):
\( \cot(x) = \frac{AK}{GK} \\ \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
Da: \( cot(x) = \frac{\frac{AK}{HY}}{\frac{GK}{HY}} = \frac{AK}{GK} \)
Damit:
\( \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \qquad | x = 90° \\ \cot(90°) = \frac{\cos(90°)}{\sin(90°)} \\ \cot(90°) = \frac{0}{1} \\ \cot(90°) = 0 \)
Der Kotangens von 90° ist also definiert. Er ist 0.
Daher sollte man bei der Definition von cot(x) stets angeben:
\( \cot(x) = \frac{ \cos(x) }{ \sin(x) } \)
und nicht: \( \cot(x) = \frac{ 1 }{ \tan(x) } \)
Für Kotangens gilt also:
\( \cot(0°) = \frac{ \cos(0°) }{ \sin(0°) } = \frac{1}{0} = \text{nicht definiert} \)
\( \cot(90°) = \frac{ \cos(90°) }{ \sin(90°) } = \frac{0}{1} = 0 \)
\( \cot(180°) = \frac{ \cos(180°) }{ \sin(180°) } = \frac{-1}{0} = \text{nicht definiert} \)