Kotangens als Funktionsgraph

Der blaue Kotangesgraph ergibt sich, indem wir 1 durch jeden Tangenswert rechnen. Im Gegensatz zum Kosekans und Sekans kann der Graph der Kotangensfunktion alle beliebigen Werte annehmen.

Er hat aber auch Definitionslücken, wo Tangens 0 ist. Also zum Beispiel bei 0° oder bei 180°. Die Periode von 0° bis 180°, dann von 180° bis 360° etc.

f₁(x) = cot(x)

Auch diesen Graphen können wir strecken, stauchen, nach rechts und links verschieben und nach oben und unten verschieben. Beispiel:

f(x) = 2·cot(0,25x-π)+1

f₁(x) = 2·cot(0,25x-π)+1Zoom: x(-15…15) y(-15…15)

Beispielaufgabe: Schnittpunkt von Tangensfunktion mit Kotangensfunktion

Die Aufgabe soll lauten:

Berechne den Schnittpunkt der beiden Funktionen:

f(x) = cot(x - 30°)
k(x) = tan(x - 30°)

im Intervall Intervall 0° bis 90°.

Um einen Schnittpunkt zu berechnen, müssen wir grundsätzlich die beiden Gleichungen gleichsetzen.

f(x) = k(x)
cot(x - 30°) = tan(x - 30°)

Nun machen wir es uns einfacher, indem wir Kotangens in Tangens umwandeln:

$\frac{1}{ \tan(x - 30°) }$ = tan(x - 30°)

Dann können wir umformen:

$\frac{1}{ \tan(x - 30°) }$ = tan(x - 30°)   | · tan(x - 30°)
1 = tan(x - 30°) · tan(x - 30°)
1 = tan²(x - 30°) | ±√
$\pm \sqrt{1}$ = $\sqrt{ \tan^2(x - 30°) }$
±1 = tan(x - 30°)

Berechnen wir den Wert mit dem Arkustangens:

±1 = tan(x - 30°) | tan^-1()
tan^-1(±1) = tan^-1(tan(x - 30°))
±45° = x - 30°
x₁ = 75°
x₂ = -15°

Lösung x₂ ist nicht im Intervall 0° bis 90° und wird vernachlässigt. Wir haben nur die Lösung: x₁ = 75°

Probe:

f(x) = cot(x - 30°) → f(75°) = cot(75° - 30°) = cot(45°) = 1

k(x) = tan(x - 30°) → tan(75° - 30°) = tan(45°) = 1

Beide haben den gemeinsamen Punkt P(75° | 1) und schneiden sich dadurch.

Hier die Graphen:

f₁(x) = tan(x-30/180·π)f₂(x) = cot(x-30/180·π)x = 75/180*πZoom: x(-3…4) y(-4…4)

Unsere Lösung ist korrekt.