Lineare Gleichungssysteme können verschiedene Lösungen haben, im Folgenden eine kurze Übersicht.
Genau eine Lösung
Für x und für x erhalten wir jeweils einen konkreten Wert. Das lineare Gleichungssystem hat ein eindeutiges Lösungspaar.
Allgemein: L = { (x|y) }
Beispiel: L = { (15|25) }
Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
Keine Lösung
Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung. Für x und y erhalten wir beim rechnerischen Lösen keinen konkreten Wert, sondern eine falsche Aussage wie zum Beispiel: 3 = 4
L = { }
Es steht kein Wertepaar innerhalb der Klammer, die Klammer ist leer. Das bedeutet: Leere Lösungsmenge. Es gibt keine Lösung.
Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen sind parallel zueinander und haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
Unendlich viele Lösungen
Das Lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Wir setzen also bei beiden Gleichungen einen beliebigen Wert für x ein und erhalten dann stets bei beiden Gleichungen den selben Wert für y. Beim rechnerischen Lösen der Gleichungen treffen wir auf eine sogenannte Identität, zum Beispiel: 2 = 2.
Für die Lösungsmenge (die Menge aller möglichen Lösungen) schreibt man:
Allgemein: L = { (x|y) | Gleichung }
Beispiel: L = { (x|y) | y = x + 10 }
Sprich: „Zur Lösungsmenge gehören alle x und y, die die Gleichung y = x + 10 erfüllen.“
Das heißt, alle x und y gehören zur Lösung, wenn man sie in die Gleichung y = x + 10 einsetzen kann. Und das klappt hier mit allen Zahlen.
Betrachtung als Funktion: Die beiden Graphen liegen aufeinander und haben dadurch unendlich viele gemeinsame Schnittpunkte.
Und richtig, die Zusammenhänge mit den Funktionen bzw. Schnittpunkten haben wir bereits beim Schnittpunkt von zwei Geraden behandelt. Die linearen Gleichungssysteme sind eine entsprechende Anwendung dieses Wissens.
Hinweis:
LGS lassen sich auch über andere Wege lösen, so zum Beispiel mithilfe der Cramerschen Regel oder dem Gauß-Verfahren. Für die Einführung ins Thema sind diese Verfahren jedoch nicht so gut geeignet und werden daher erst später vorgestellt.