Ein Lineares Gleichungssystem (abgekürzt „LGS“) besteht aus mehreren Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Dabei enthält jede Gleichung dieselben Unbekannten.
Alle Unbekannten kommen nur in der ersten Potenz vor, daher die Bezeichnung lineares Gleichungssystem.
Ziel beim Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS, die aus 2 Gleichungen bestehen) ist, eine der beiden Unbekannten zu beseitigen.
Bei beispielsweise zwei linearen Gleichungen:
I. 2·x + 2·y = 3
II. 5·x + 3·y = 5
wollen wir wissen, welche Werte für x und y diese beiden Gleichungen zusammen erfüllen.
Mit welchen Werten für x und y stimmen beide Gleichungen?
Für das Beispiel wären die Lösungen: x = 0,25 und y = 1,25. Nur bei diesen beiden Werten stimmen beide Gleichungen:
Machen wir die Probe für die I. Gleichung:
2·x + 2·y = 3
2·(0,25) + 2·(1,25) = 3
0,5 + 2,5 = 3 ✓
Wahre Aussage
Und die Probe für die II. Gleichung:
5·x + 3·y = 5
5·(0,25) + 3·(1,25) = 5
1,25 + 3,75 = 5 ✓
Wahre Aussage
Bei beispielsweise drei linearen Gleichungen haben wir drei verschiedene Unbekannte:
I. 3·x + 3·y - 1·z = 5
II. 4·x + 5·y + 1·z = -1
III. 2·x - 5·y + 7·z = 9
Möchte man ein LGS auflösen, so sucht man Werte für x, y und z, sodass alle drei linearen Gleichungen (I, II und III) erfüllt sind.
Dies kann man mit Hilfe eines Lösungsverfahrens wie dem Gleichsetzungsverfahren, dem Einsetzungsverfahren oder dem Additionsverfahren herausfinden.
Zum Berechnen der Werte der Variablen können wir verschiedene Verfahren benutzen: