1. Addition von Gleichungen
Warum man Gleichungen miteinander addieren kann, machen wir uns an einem Beispiel klar:
9 + 2 = 11
15 + 8 = 23
Beide Gleichungen sind wahr, da wir auf beiden Seiten jeweils denselben Wert erhalten.
Jetzt addieren wir die erste Gleichung auf die zweite Gleichung. Das können wir mit zwei verschiedenen Wegen erreichen:
A: Wir addieren einfach untereinander:
9 + 2 = 11
15 + 8 = 23
24 + 10 = 34
B: Wir addieren die jeweils linken Seiten komplett aufeinander und die jeweils rechten Seiten auch:
(9 + 2) + (15 + 8) = 11 + 23
34 = 34
Wir sehen, dass bei beiden Wegen beide Seiten den Wert 34 annehmen. Die Gleichung ist also wahr. Wir können also Gleichungen aufeinander addieren und beide Seiten sind immer noch äquivalent, das heißt im Werte gleich.
2. Vertauschen von Gleichungen
In einem LGS ist es egal, in welcher Reihenfolge die einzelnen Gleichungen stehen. Das Vertauschen von zwei oder mehreren Gleichungen ändert nichts daran, dass die Gleichungen trotzdem alle erfüllt sein müssen.
3. Vertauschen von Variablen
Aufgrund des Kommutativgesetzes, können wir die Variablen innerhalb der Gleichungen ohne Probleme in einer anderen Reihenfolge schreiben. So kann man zum Beispiel statt:
5·x + 4·y + z = 5
auch schreiben:
4·y + 5·x + z = 5
Dieses Wissen wird uns später bei der Anwendung des Gauß-Verfahrens nützlich sein.
4. Äquivalenzumformungen
Benutzt man Äquivalenzumformungen, so addiert oder subtrahiert man einen Wert auf beiden Seiten einer Gleichung oder man multipliziert oder dividiert beide Seiten einer Gleichung mit einem Wert. Übrigens gilt auch hier: Die Division durch 0 ist nicht möglich. Zudem ist die Multiplikation mit 0 ebenfalls nicht erlaubt, da dann auf beiden Seiten 0 = 0 stehen würde.
Die erlaubten Äquivalenzumformungen verändern den Wert der Unbekannten in der Gleichung also nicht. Anschaulich wird dies an diesem Beispiel:
9 + 2 = 11
3·x + 2 = 11 | ·(-4)
3·x·(-4) + 2·(-4) = 11·(-4)
-12·x - 8 = -44
Erklärung der obigen Berechnungen:
Da wir die Zahl 9 auch als 3·3 darstellen können, setzen wir x = 3. Wir wissen also, dass x die Gleichung löst. Wir haben beide Seiten mit (-4) multipliziert.
Wir wissen ja, dass aus der vorherigen Gleichung x = 3 sein soll. Setzen wir doch mal in die letzte Gleichung (also nachdem mit -4 multipliziert wurde) für x = 3 ein:
-12·x - 8 = -44
-12·(3) - 8 = -44
-36 - 8 = -44
Wir sehen direkt, dass x = 3 die Gleichung löst. Die Berechnung in der letzten Zeile stimmt.
Wir können also erlaubte Äquivalenzumformungen benutzen, ohne dass sich dabei die Werte, die sich in unseren Variablen „verstecken“, verändern.