Mit dem Gauß-Verfahren (kurz für "Gaußsches Eliminationsverfahren") lassen sich Lösungen von beliebig großen linearen Gleichungssystemen bestimmen. Das Verfahren ist eine besondere Form bzw. mehrfache Ausführung des Additionsverfahrens.
Gauß-Verfahren zum Lösen von LGS
Wir wollen jetzt das nachstehende LGS lösen:
\( \begin{array}{lllllll} \text{I. } &3·x &+ &3·y &- &1·z &= 5 \\ \text{II. } &4·x &+ &5·y &+ &1·z &= -1 \\ \text{III. } &2·x &- &5·y &+ &7·z &= 9 \end{array} \)
Wie der vollständige Name des Gauß-Verfahren bereits schon sagt, versuchen wir mit Hilfe des Additionsverfahrens mehrere Variablen zu eliminieren. Das machen wir so lange, bis wir die Stufenform (oder auch Zeilenstufenform genannt) erhalten. Das Gleichungssystem in Stufenform sieht später in etwa so aus:
Wir eliminieren also in der zweiten Gleichung die Variable x und in der dritten Gleichung die Variablen x und y. Für Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen/Variablen kann man sich merken, dass die erste Gleichung gleich bleibt, aber mit jeder nachfolgenden Gleichung immer eine Variable mehr eliminiert wird (von links ausgehend), sodass in der letzten Zeile nur noch möglichst eine Variable steht.
Wichtig ist, dass es in der Abbildung nur darum geht, was für eine Form so eine Stufenform besitzt. Die Werte der Koeffizienten vor den nicht wegfallenden Variablen und die Werte rechts vom Gleichheitszeichen können sich jedoch verändern und gleichen nicht unbedingt den Werten des ursprünglichen LGS, wie in der Abbildung.
Versuchen wir, unser LGS auf Zeilenstufenform zu bringen:
\( \begin{array}{lllllll} \text{I. } &3·x &+ &3·y &- &1·z &= 5 \\ \text{II. } &4·x &+ &5·y &+ &1·z &= -1 \\ \text{III. } &2·x &- &5·y &+ &7·z &= 9 \end{array} \)
Zunächst einmal wollen wir das x in der zweiten Gleichung eliminieren (den Term 4·x). Wir wenden das Additionsverfahren an und suchen einen Wert a, der mit 3 multipliziert 4 ergibt, damit wir die erste Gleichung von der zweiten subtrahieren können und x wegfällt. Welchen Wert hat also a in 3·a = 4?
Formen wir nach a um, so erhalten wir a = -4/3. Wir müssen also Gleichung I mit -4/3 multiplizieren, damit wir I auf II addieren können und x wegfällt.
Machen wir das und nennen unsere umgeformte Gleichung I', so erhalten wir:
\( \begin{array}{llllll} \text{I. } &3·x &+ 3·y &- 1·z &= 5 \qquad \qquad \textcolor{#00F}{| · ( -\frac{4}{3} )} \\ \text{I'. } &3·x · ( -\frac{4}{3} ) &+ 3·y · ( -\frac{4}{3} ) &- 1·z · ( -\frac{4}{3} ) &= 5 · ( -\frac{4}{3} ) \\ \text{I'. } &-4·x &+ (-4)·y &+ \frac{4}{3}·z &= -\frac{20}{3} \end{array} \)
Schreiben wir Gleichung II unter I' und führen die Addition I' + II aus:
\( \begin{array}{lllll} \text{I'. } &-4·x &+ (-4)·y &+ \frac{4}{3}·z &= -\frac{20}{3} \\ \text{II. } &4·x &+ 5·y &+ 1·z &= -1 \\ \hline \text{II'. } &0 &+ 1·y &+ \frac{7}{3}·z &= -\frac{23}{3} \end{array} \)
Jetzt wollen wir, dass x auch in Gleichung III wegfällt, deswegen multiplizieren wir Gleichung I mit \( \left( -\frac{2}{3} \right) \) und erhalten I'':
\( \begin{array}{lllll} \text{I'. } &3·x &+ 3·y &- 1·z &= 5 \qquad |:\left( -\frac{2}{3} \right) \\ \text{I''. } &3·x·\left( -\frac{2}{3} \right) &+ 3·y·\left( -\frac{2}{3} \right) &- 1·z·\left( -\frac{2}{3} \right) &= 5·\left( -\frac{2}{3} \right) \\ \text{I''. } &-2·x &-2·y &+ \frac{2}{3}·z = -\frac{10}{3} \end{array} \)
Addieren wir I'' und III miteinander:
\( \begin{array}{lllll} \text{I''. } &-2·x &-2·y &+ \frac{2}{3}·z· &= -\frac{10}{3} \\ \text{III. } &2·x &- 5·y &+ 7·z &= 9 \\ \hline \text{III'. } &0 &-7·y &+ \frac{23}{3}·z &= \frac{17}{3} \end{array} \)
Nun schreiben wir I, II' und III' untereinander:
\( \begin{array}{lllll} \text{I. } &3·x &+ 3·y &- 1·z &= 5 \\ \text{II'. } &0 &+ 1·y &+ \frac{7}{3}·z &= -\frac{23}{3} \\ \text{III'. } &0 &-7·y &+ \frac{23}{3}·z &= \frac{17}{3} \end{array} \)
Unsere erste Stufe haben wir jetzt bereits:
Nun ist noch das y in Gleichung III' zu entfernen, wir wenden noch einmal das Additionsverfahren an, und zwar bei den letzen beiden Gleichungen:
\( \begin{array}{lllll} \text{II'. } &0 &+ 1·y &+ \frac{7}{3}·z &= -\frac{23}{3} \\ \text{III'. } &0 &-7·y &+ \frac{23}{3}·z &= \frac{17}{3} \end{array} \)
Beide Gleichungen haben dieselben Variablen y und z, man kann sich vorstellen, man hätte ein LGS mit nur 2 Variablen. Wie man so etwas auflöst, haben wir ja bereits gelernt. Wir eliminieren also y in III', indem wir II' mit 7 multiplizieren, da:
1·y·7 + (-7)·y = 0
Wir rechnen also Gleichung II' · 7 und nennen die neue Gleichung II'':
\( \text{II'. } 0 + 1·y + \frac{7}{3}·z = -\frac{23}{3} \qquad | ·7 \\ \text{II''. } 0 + 7·y + \frac{49}{3}·z = -\frac{161}{3} \)
Jetzt schreiben wir II'' und III' untereinander und addieren die Gleichungen. Die Summe nennen wir nun III'':
\( \begin{array}{lllll} \text{II''. } &0 &+ 7·y &+ \frac{49}{3}·z &= -\frac{161}{3} \\ \text{III'. } &0 &-7·y &+ \frac{23}{3}·z &= \frac{17}{3} \\ \hline \text{III''. } &0 &+ 0 &+ \frac{72}{3}·z &= -\frac{144}{3} \end{array} \)
Anschließend können wir die Gleichungen I, II' und III'' untereinander schreiben und wir haben ein LGS in Stufenform:
Solche LGS lassen sich nun relativ einfach lösen. Man fängt bei der untersten Gleichung an und bestimmt den Wert für die einzige Variable in der Gleichung. Durch Einsetzen der Variable, deren Wert nun bekannt ist, in die Gleichung darüber und anschließendes Auflösen erhält man den Wert der nächsten Variable. Danach setzt man alle bekannten Variablen in die jeweils höhere Gleichung ein und löst dann wieder auf.
Also lösen wir als erstes die dritte Gleichung III'':
\( \text{III''. } \frac{72}{3}·z = -\frac{144}{3} \)
\( z = -\frac{144}{3} : \frac{72}{3} \\ z = -\frac{144}{3} · \frac{3}{72} \\ z = -\frac{144}{3} · \frac{3}{72} \\ z = -2 \)
Jetzt können wir unseren Wert für z in die zweite Gleichung II' einsetzen und nach y auflösen:
\( \text{II'. } 0 + 1·y + \frac{7}{3}·z = -\frac{23}{3} \qquad | \textcolor{#00F}{z = -2} \\ 0 + 1·y + \frac{7}{3}·\textcolor{#00F}{(-2)} = -\frac{23}{3} \\ 1·y - \frac{14}{3} = -\frac{23}{3} \\ 1·y = -\frac{23}{3} + \frac{14}{3} \\ y = -\frac{9}{3} \\ y = -3 \)
Uns fehlt nur noch die Variable x. Diese Variable berechnen wir, indem wir y und z in Gleichung I einsetzen:
\( \text{I. } 3·x + 3·y - 1·z = 5 \qquad | \textcolor{#E00}{y = -3} \text{ und } \textcolor{#00F}{z = -2} \\ 3·x + 3·\textcolor{#E00}{(-3)} - 1·\textcolor{#00F}{(-2)} = 5 \\ 3·x - 9 + 2 = 5 \\ 3·x - 7 = 5 \\ 3·x = 12 \\ x = 4 \)
Als Lösung des LGS haben wir:
z = -2, y = -3, x = 4
Setzen wir diese Werte zur Probe in die drei ursprünglichen Gleichungen ein, so sehen wir, dass alle drei Gleichungen aufgehen.
\( \begin{array}{lllllll} \text{I. } &3·x &+ &3·y &- &1·z &= 5 \\ \text{II. } &4·x &+ &5·y &+ &1·z &= -1 \\ \text{III. } &2·x &- &5·y &+ &7·z &= 9 \end{array} \)
\( \begin{array}{lllllll} \text{I. } &3·4 &+ &3·(-3) &- &1·(-2) &= 12 - 9 + 2 = 5 \quad \Large{ \textcolor{#0A0}{\checkmark} } \\ \text{II. } &4·4 &+ &5·(-3) &+ &1·(-2) &= 16 - 15 - 2 = -1 \quad \Large{ \textcolor{#0A0}{\checkmark} } \\ \text{III. } &2·4 &- &5·(-3) &+ &7·(-2) &= 8 + 15 - 14 = 9 \quad \Large{ \textcolor{#0A0}{\checkmark} } \end{array} \)