Determinanten mit einem Rang > 3 können nach der Regel von SARRUS nicht gelöst werden. Hierfür steht ein allgemein gültiges Verfahren zur Verfügung, das von LAPLACE, (Pierre Simon, 1749-1827) und SARRUS (Pierre, 1798-1861) angegeben wurde. Danach erfolgt die Lösung mehrreihiger (auch größer als 3 Reihen) Determinanten durch Entwicklung der Ausgangsdeterminante in rangniedere Unterdeterminanten.
Die Entwicklung in Unterdeterminanten geht von folgender Überlegung aus: Werden die Summanden der Determinante nach Gl. 88 geeignet zusammengefasst, ergibt sich
\( \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right|\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }\end{array} = {a_{11} }\left( { {a_{22} }{a_{33} } - {a_{23} }{a_{32} } } \right) - {a_{12} }\left( { {a_{21} }{a_{33} } - {a_{23} }{a_{31} } } \right) + {a_{13} }\left( { {a_{21} }{a_{32} } - {a_{22} }{a_{31} } } \right) \) Gl. 89
Dabei fällt auf, dass die eingeklammerten Terme auch als zweireihige Determinanten geschrieben werden können:
\( \begin{array}{l}\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| = {a_{11} }\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| - {a_{12} }\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{21} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| + {a_{13} }\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{21} } }&{ {a_{22} } }\\{ {a_{31} } }&{ {a_{32} } }\end{array} } \right| \end{array} \\ = {a_{11} }{A_{11} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{12} }{A_{12} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{13} }{A_{13} } \) Gl. 90
In diesem Fall handelt es sich um eine Entwicklung der Determinante nach den Elementen der ersten Zeile. Die vorzeichenbehafteten Unterdeterminanten werden auch Adjunkte genannt. Gleichwertig dazu ist aber auch eine Entwicklung nach Spalten möglich:
\( \begin{array}{l}\left| { \begin{array}{cc} { {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } } \\ { {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } } \end{array} } \right| = {a_{11} }\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\\{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| - {a_{21} }\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } }\end{array} } \right| + {a_{31} }\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } }\\{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } }\end{array} } \right| \end{array} \\ = {a_{11} }{A_{11} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{21} }{A_{21} } \,\,\,\,\,\,\, + {a_{31} }{A_{31} } \) Gl. 91
In Gl. 91 wurde die Entwicklung der Determinante nach den Elementen der ersten Spalte vorgenommen. Grundsätzlich kann aber eine Entwicklung in Unterdeterminanten nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte vorgenommen werden.
Wichtig ist jedoch, dass eine Entwicklung erst dann vollständig ist, wenn jedes Element der ausgewählten Zeile (Spalte) berücksichtigt wurde!
Unter Beachtung der unten folgenden Regeln kann die Entwicklung nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte erfolgen.
Ermittlung von Adjunkten
Adjunkte werden wie folgt ermittelt: Von der Ausgangsdeterminante wird das Element aik für die Entwicklung ausgewählt. Aus der Ausgangsdeterminante werden alle Elemente der i-ten Zeile und der k-ten Spalte entfernt. Dadurch entsteht eine neue Determinante, die im Rang um eins erniedrigt wurde. Einschließlich des Vorzeichens, das nach der Regel
i+k gerade: Vorzeichen positiv
i+k ungerade: Vorzeichen negativ
gebildet wird, bildet diese Unterdeterminante den Adjunkt Aik (siehe folgende Gleichung).
Entwicklung der Determinante
Zur Entwicklung der Determinante werden die ermittelten Adjunkte mit dem Element der Ausgangsdeterminante multipliziert, nach dem die Entwicklung vorgenommen wird. Dazu sind alle zu der Zeile (oder Spalte) gehörenden Elemente und Adjunkte vorzeichenrichtig zu summieren.
Gl. 93 zeigt die Entwicklung einer dreireihigen Determinante nach den Elementen der ersten Spalte:
\( \left| {\begin{array}{cc} { \textcolor{#00F}{a_{11} } } & { {a_{12} } } & { {a_{13} } } \\ { \textcolor{#00F}{a_{21} } } & { {a_{22} } } & { {a_{23} } } \\ { \textcolor{#00F}{a_{31} } } & { {a_{32} } } & { {a_{33} } } \end{array} } \right|\,\, = {a_{11} }{A_{11} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{21} }{A_{21} } \,\,\,\,\,\,\, + {a_{31} }{A_{31} } \) Gl. 93
alternativ kann die Entwicklung aber z.B. auch nach der zweiten Zeile vorgenommen werden:
\( \left| {\begin{array}{cc} { {a_{11} } } & { {a_{12} } } & { {a_{13} } } \\ { \textcolor{#00F}{a_{21} } } & { \textcolor{#00F}{a_{22} } } & { \textcolor{#00F}{a_{23} } } \\ { {a_{31} } } & { {a_{32} } } & { {a_{33} } } \end{array} } \right|\,\, = {a_{21} }{A_{21} }\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {a_{22} }{A_{22} } \,\,\,\,\,\,\, + {a_{23} }{A_{23} } \) Gl. 94
Eine Determinante ist erst dann vollständig in rangniedere Determinanten entwickelt, wenn alle Elemente der ausgewählten Zeile (oder Spalte) berücksichtigt worden sind.
Beachte: Die Entwicklung von Determinanten nach ihren Adjunkten ist für jeden Rang möglich!