Eine dreireihige Determinante dient der Lösung eines Gleichungssystems mit drei Variablen:
\( \begin{array}{l} I. & {a_{11} }x + {a_{12} }y + {a_{13} }z = {c_1} \\ II. & {a_{21} }x + {a_{22} }y + {a_{23} }z = {c_2} \\ III. & {a_{31} }x + {a_{32} }y + {a_{33} }z = {c_3} \end{array} \) Gl. 85
Um im Bild der sich schneidenden Geraden zu bleiben: Gl. 85 beschreibt drei Flächen im dreidimensionalen Raum, deren Schnittpunkt gesucht wird, in dem sich alle Schnittlinien der drei Flächen treffen (Abbildung 15).
Die daraus abzuleitende Koeffizientendeterminante hat die Gestalt:
\( D = \left| {\begin{array}{cc} { {a_{11} } } &{ {a_{12} } } &{ {a_{13} } } \\ { {a_{21} } } &{ {a_{22} } } &{ {a_{23} } } \\ { {a_{31} } } & { {a_{32} } } & { {a_{33} } } \end{array} } \right|\) Gl. 86
Entsprechend sind die Zählerdeterminanten aufgebaut:
\( {D_x} = \left| {\begin{array}{cc} { {c_1} }&{ {a_{12} } }&{ {a_{13} } } \\ { {c_2} }&{ {a_{22} } }&{ {a_{23} } } \\ { {c_3} }&{ {a_{32} } }&{ {a_{33} } } \end{array} } \right|;\,\,\,\,\,\,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {c_1} }&{ {a_{13} } } \\ { {a_{21} } }&{ {c_2} }&{ {a_{23} } } \\ { {a_{31} } }&{ {c_3} }&{ {a_{33} } } \end{array} } \right|;\,\,\,\,\,\,\,\,{D_z} = \left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } }&{ {a_{12} } }&{ {c_1} } \\ { {a_{21} } }&{ {a_{22} } }&{ {c_2} } \\ { {a_{31} } }&{ {a_{32} } }&{ {c_3} } \end{array} } \right| \) Gl. 87