Der Schnittpunkt zweier gegebener Geraden ist dadurch bestimmt, dass es für beide Gleichungen ein x gibt, für das die Funktionswerte beider Gleichungen identisch sind (siehe Abbildung).
Beide Gleichungen seien in der Form
\( \begin{array}{l} I. & a_{11}·x + a_{12}·y = {c_1} \\ II. & a_{21}·x + a_{22}·y = {c_2} \end{array} \) Gl. 61
gegeben. Die Variablen wie \( a_{11} \) heißen Koeffizienten.
Durch schrittweises Eliminieren je einer Unbekannten wird die Lösung für die verbleibende Unbekannte eindeutig möglich:
\( \begin{array}{l} I. & {a_{11} }·x + {a_{12} }·y = {c_1} & & & | · {a_{21} } \\ II. & {a_{21} }·x + {a_{22} }·y = {c_2} & & & | · {a_{11} } \end{array} \)
\( \begin{array}{l} I. & {a_{21} }·{a_{11} }·x + {a_{21} }·{a_{12} }·y = {a_{21} }·{c_1} & \\ II. & {a_{11} }·{a_{21} }·x + {a_{11} }·{a_{22} }·y = {a_{11} }·{c_2} & & | II - I \end{array} \)
\( II - I. \quad 0 + \left( { {a_{11} }·{a_{22} } - {a_{21} }·{a_{12} } } \right)·y = {a_{11} }·{c_2} - {a_{21} }·{c_1} \quad | \text{ nach y auflösen } \)
\( y = \frac{ { {a_{11} }·{c_2} - {a_{21} }·{c_1} } }{ { {a_{11} }·{a_{22} } - {a_{21} }·{a_{12} } } } \) Gl. 62
Auf gleiche Weise wird die Lösung für x bestimmt:
\(\begin{array}{l} I. & {a_{11} }·x + {a_{12} }·y = {c_1} & & & | · {a_{22} } \\ II. & {a_{21} }·x + {a_{22} }·y = {c_2} & & & | · {a_{12} } \end{array}\)
\( \begin{array}{l} I. & {a_{22} }·{a_{11} }·x + {a_{22} }·{a_{12} }·y = {a_{22} }·{c_1} & & |I - II \\ II. & {a_{12} }·{a_{21} }·x + {a_{12} }·{a_{22} }·y = {a_{12} }·{c_2} \end{array} \)
\( I - II. \quad 0 + \left( { {a_{11} }·{a_{22} } - {a_{21} }·{a_{12} } } \right)·x = {a_{22} }·{c_1} - {a_{12} }·{c_2} \quad | \text{ nach x auflösen } \)
\( x = \frac{ { {a_{22} }·{c_1} - {a_{12} }·{c_2} } }{ { {a_{11} }·{a_{22} } - {a_{21} }·{a_{12} } } } \) Gl. 63