Der Rang einer Determinante wird durch die Anzahl der voneinander unabhängigen Gleichungssysteme, die zu der Determinante geführt haben, bestimmt.
Mit anderen Worten: Verschwindet der Wert einer Determinante, ohne dass auch alle Adjunkte dieser Determinante verschwinden, liegt eine Rangerniedrigung um 1 vor. Verschwinden auch alle Adjunkte, aber nicht deren Unterdeterminanten, dann liegt eine weitere Rangerniedrigung vor.
Beispiel 1: Der Wert der Determinate
\(\left| {\begin{array}{cc}1&2&3\\2&4&6\\1&1&{ - 1}\end{array} } \right|\,\, = {a_{11} }{A_{11} } + {a_{21} }{A_{21} } + {a_{31} }{A_{31} } = 1 \cdot \left( { - 4 - 6} \right) - 2 \cdot \left( { - 2 - 3} \right) + 1 \cdot \left( {12 - 12} \right) = - 10 + 10 + 0 = 0\)
ist verschwindend, aber die Adjunkte A11 und A21 sind ungleich Null. Folglich hat die Determinante den Rang = 2 (und nicht 3, wie der erste Anschein vermuten lässt).
Beispiel 2: Der Wert der Determinate
\(\left| {\begin{array}{cc}1&2&2\\2&4&4\\1&1&1\end{array} } \right|\,\, = {a_{11} }{A_{11} } + {a_{21} }{A_{21} } + {a_{31} }{A_{31} } = 1 \cdot \left( {4 - 4} \right) - 2 \cdot \left( {2 - 2} \right) + 1 \cdot \left( {8 - 8} \right) = 0 + 0 + 0 = 0\)
ist ebenfalls gleich Null, zudem sind auch die Adjunkte A11, A21 und A31 gleich Null. Aber andere Adjunkte wie z.B. A13, A22 oder A23 sind ungleich Null. Daher hat auch diese Determinante den Rang = 2.
Beispiel 3: Der Wert der Determinate
\(\left| {\begin{array}{cc}1&2&2\\2&4&4\\1&2&2\end{array} } \right|\,\, = 0\)
ist ebenfalls gleich Null, zudem sind auch alle Adjunkte gleich Null. Erst deren Adjunkte verschwinden nicht. Daher hat diese Determinante den Rang = 1.