Determinanten geben auch Aufschluss über die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme. Es sind drei Fälle zu unterscheiden:
a) \( D ≠ 0 ∧ D_x, D_y ∈ \mathbb{R} \) Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar.
b) \( D = 0 ∧ ∀D_x, D_y = 0 \) Das Gleichungssystem liefert unendlich viele Lösungen. Die Gleichungen sind nicht unabhängig.
c) \( D = 0 ∧ ∃D_x, D_y ≠ 0 \) Hier liegt ein Widerspruch vor. Lösungsmenge = Æ!
Eine geometrische Deutung soll die Interpretation der drei Fälle ermöglichen. Dazu sei daran erinnert, dass die Lösung des Gleichungssystems auf die Bestimmung des Schnittpunktes von Geraden abzielt. Die Betrachtung der Fälle zeigt, dass
Fall b) Gl. II in Gl. 61 einschließlich der Inhomogenität c ein Vielfaches von Gleichung I (oder umgekehrt) ist:
\( \begin{array}{l} I. & \,\,\,{a_1}x + \,\,\,\,{a_2}y = \,\,\,\,c \\ II. & \lambda {a_1}x + \lambda {a_2}y = \lambda c\end{array} \) Gl. 68
Dies führt auf folgende Lösungen:
\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ {\lambda \cdot \left| {\begin{array}{cc}c&{ {a_2} } \\ c & { {a_2} }\end{array} } \right|} }{ {\lambda \cdot \left| {\begin{array}{cc}{ {a_1} } & { {a_2} }\\{ {a_1} } & { {a_2} }\end{array} } \right|} } = \frac{0}{0} \qquad y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ {\lambda · \left| {\begin{array}{cc}{ {a_1} } & c \\ { {a_1} } & c\end{array} } \right|} } { {\lambda \cdot \left| {\begin{array}{cc}{ {a_1} } & { {a_2} }\\{ {a_1} } & { {a_2} }\end{array} } \right|} } = \frac{0}{0} \) Gl. 69
Die nächste Abbildung zeigt, dass linear abhängige Gleichungen zu identischen Geraden führen. Identische Gerade berühren sich an allen Stellen, d.h. es gibt unendlich viele solcher „Schnitt“punkte. Das Gleichungssystem besteht aus zwei prinzipiell identischen Gleichungen (der Faktor λ kann auf beiden Seiten gekürzt werden, dadurch entstehen zwei identische Gleichungen). Es gibt also mehr Variable als Bestimmungsgleichungen. Folglich kann eine der Variablen frei gewählt werden, um die andere zu bestimmen.
Fall c) Gl. II in Gl. 61 mit Ausnahme der Inhomogenität c ein Vielfaches von Gleichung I (oder umgekehrt) ist:
\( \begin{array}{l}I. & \,\,\,{a_1}x + \,\,\,\,{a_2}y = \,{c_1}\\II. & \lambda {a_1}x + \lambda {a_2}y = {c_2}; & {c_2} \ne \lambda {c_1}\,!\end{array} \) Gl. 70
Dies führt auf folgende Lösungen:
\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{cc}{ {c_1} } & { {a_2} } \\ { {c_2} } & {\lambda {a_2} }\end{array} } \right|} }{ {\lambda \cdot \left| {\begin{array}{cc}{ {a_1} }&{ {a_2} }\\{ {a_1} }&{ {a_2} }\end{array} } \right|} } = \frac{ {\left( {\lambda {c_1} - {c_2} } \right){a_2} } }{0} \) \( y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{cc}{\lambda {a_1} } & { {c_1} }\\{ {a_1} } & { {c_2} }\end{array} } \right|} }{ {\lambda · \left| {\begin{array}{cc}{ {a_1} } & { {a_2} }\\{ {a_1} } & { {a_2} }\end{array} } \right|} } = \frac{ {\left( { {c_1} - \lambda {c_2} } \right){a_1} } }{0} \) Gl. 71
Die folgende Abbildung zeigt, dass solcher Art abhängige Gleichungen zu parallelen Geraden führen. Parallele Geraden haben keinen endlichen Schnittpunkt! Es liegt folglich ein Widerspruch vor. Der Vergleich von Gl. 70 (I.) mit Gl. 70 (II.) zeigt, dass an sich gleiche Vorraussetzungen zu unterschiedlichen Ergebnissen c1 und c2 (c1¹lc2) führen.
