Die gesuchten Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems sind nun leicht zu finden (vergleiche auch Gleichungen 62 und 63):
\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{cc}{ {c_1} } & { {a_{12} } }\\{ {c_2} } & { {a_{22} } }\end{array} } \right|} }{ {\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right|} } \qquad y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ {\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } } & { {c_1} }\\{ {a_{21} } } & { {c_2} }\end{array} } \right|} }{ {\left| {\begin{array}{cc}{ {a_{11} } } & { {a_{12} } }\\{ {a_{21} } } & { {a_{22} } }\end{array} } \right|} } \) Gl. 67
sofern die Koeffizientendeterminante nicht verschwindet (D ≠ 0)!
Die Lösungsvorschrift für Determinanten ist nach dem Schweizer Mathematiker CRAMER Gabriel (1704 - 1752) benannt.
Beispiel:
Gesucht ist der Punkt in dem sich die Geraden I. y = 3x + 1 und II. y = x + 3 schneiden.
Zunächst muss das Gleichungssystem aufgestellt werden:
\(\begin{array}{l} & I. & 3x - y = - 1\\ & II. & x\,\,\, - y = - 3\end{array}\)
Die Koeffizientendeterminante D hat den Wert
\( D = \left| {\begin{array}{cc}3 & { - 1} \\ 1 & { - 1} \end{array} } \right| = - 1 \cdot 3 - ( - 1) · 1 = - 2 \)
und die Zählerdeterminanten Dx und Dy
\( {D_x} = \left| {\begin{array}{cc}{ - 1} & { - 1}\\{ - 3} & { - 1}\end{array} } \right| = ( - 1)( - 1) - ( - 1)( - 3) = - 2 \)
\( {D_y} = \left| {\begin{array}{cc}3 & { - 1} \\ 1 & { - 3}\end{array} } \right| = 3 \cdot ( - 3) - 1 · ( - 1) = - 8 \)
nunmehr ergeben sich die Koordinaten des Schnittpunktes zu
\( x = \frac{ { {D_x} } }{D} = \frac{ { - 2} }{ { - 2} } = 1 \qquad y = \frac{ { {D_y} } }{D} = \frac{ { - 8} }{ { - 2} } = 4 \)
Probe:
Einsetzen der Lösung in obige Gleichungen zeigt,
\(\begin{array}{l} & I. & 3 \cdot 1 - 4 = - 1\\ & II. & 1\,\,\, - 4 = - 3\end{array}\)
dass die Lösung das Gleichungssystem erfüllt.