In Abschnitt Partielle Integration (Produktregel) wurden Integrale aufgeführt, die nicht elementar, d.h. weder durch Substitution noch durch andere Verfahren, gelöst werden können. Hierfür bietet die Reihenentwicklung einen vorteilhaften Ansatz. Potenzreihen sind stetig und ohne Einschränkungen integrierbar.
Ist die Funktion f(x) in einem interessierenden Intervall stetig und differenzierbar, kann sie in einer Potenzreihe (Gl. 190) entwickelt werden. Entsprechend der Integrationsregeln dürfen die einzelnen Summanden der Reihe getrennt integriert werden.
\( \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x)dx} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\left( {f(0) + \frac{ {f'(0)} }{ {1!} } \cdot x + \frac{ {f''(0)} }{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{ { {f^{\left( 3 \right)} } } }{ {3!} } \cdot {x^3} + \,....} \right)dx} \) Gl. 208
\( \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {f(x)dx} = \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{ { {f^{\left( n \right)} } } }{ {n!} } \cdot {x^n} } dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{ { {f^{\left( n \right)} } } }{ {n!} } \cdot \int\limits_{ {x_1} }^{ {x_2} } { {x^n}dx} } \right)} \) Gl. 209
Beispiel:
Gesucht ist das Integral \(F(x) = \int\limits_1^2 {\frac{ { {e^x} } }{x}dx} \) (Gl. 153). Mit der Potenzreihe der Funktion ex (Gl. 200) und unter Beachtung des Konvergenzradius r < ∞ wird der Integrant:
\(\frac{ { {e^x} } }{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{ {1!} } + \,\frac{1}{ {2!} } \cdot x + \frac{1}{ {3!} } \cdot {x^2}.... = 1 + \frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n!} } \cdot {x^{n - 1} } } ; \)
Nun kann die Integration vollzogen werden:
\( \int\limits_1^2 {\frac{ { {e^x} } }{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {1 + \frac{1}{x} + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n!} } \cdot {x^{n - 1} } } } \right)dx = \left. {\left( {x + \ln x + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n \cdot n!} } \cdot {x^n} } } \right)} \right|}_1^2 \)
\( \int\limits_1^2 {\frac{ { {e^x} } }{x}dx} = \left( {\left( {2 - 1} \right) + \ln \left( {2 - 1} \right) + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n \cdot n!} } \cdot { {\left( {2 - 1} \right)}^n} } } \right) = 1 + \sum\limits_{n = 2}^\infty {\frac{1}{ {n \cdot n!} } \approx 1,} {\rm{31790215} } \)