Die Reihenentwicklung spielt in der numerischen Mathematik eine überragende Rolle. Sei es die Berechnung von Werten transzendenter Funktionen oder die Lösung elementar nicht lösbarer Integrale, stets muss sich der Anwender darüber im Klaren sein, dass die numerische Berechnung unendlicher Reihen technisch nicht möglich ist. Folglich wird die Reihenentwicklung an einer bestimmten Stelle abgebrochen, wohl wissend, dass das Ergebnis fehlerbehaftet sein wird. Zur Abschätzung dieses Restfehlers wird die Restgliedabschätzung vorgenommen. Gl. 190 wird umgeformt:
\( f(x) = f(0) + \frac{ {f'(0)} }{ {1!} } \cdot x + \frac{ {f''(0)} }{ {2!} } \cdot {x^2} + \frac{ { {f^{\left( 3 \right)} } } }{ {3!} } \cdot {x^3} + \,....{R_n} \) Gl. 196
Das Restglied der MacLaurinschen Form wird nach CAUCHY wie folgt abgeschätzt:
\( {R_n} = \frac{ { {x^{n + 1} } } }{ {n!} }{(1 - \vartheta )^n}{f^{\left( {n + 1} \right)} }\left( {\vartheta x} \right); \quad \text{ für } \quad 0 < \vartheta < 1 \) Gl. 197
Beispiel:
Die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion wird nach dem 4. Glied abgebrochen. Es wird der Wert für x=1 bestimmt (Berechnung der EULERschen Zahl). In welchem Bereich bewegt sich der Fehler zum tatsächlichen Betrag?
Die Restgliedabschätzung ergibt
\( {R_5} = \frac{1}{ {5!} }{(1 - \vartheta )^5} \cdot {e^\vartheta }; \text{ für } 0 < \vartheta < 1 \)
Offenbar tritt der größte Fehler bei J=0 auf:
\({R_5} = \frac{1}{ {5!} } = \frac{1}{ {120} } = 0,0083\)