Die Beschränktheit einer Folge ist ein wichtiges Voraussetzung für deren Konvergenz. Die Beschränktheit sagt aus, dass es für eine Folge je eine endliche obere bzw. untere Schranke gibt, die von keinem Glied der Folge über- bzw. unterschritten wird.
Beispiel:
Die harmonische Reihe \(\left\{ { {x_n} } \right\} = \frac{1}{n};\,\,\,n \in N\,\,\) hat eine obere Schranke von 1 und eine untere von 0. Denn bei n = 1 ist \( \left\{ { {x_n} } \right\} = 1\) und für n → ∞ strebt \(\left\{ { {x_n} } \right\} = 0\). Siehe Abbildung 26, schwarze Kurve.
Mit zunehmendem Index nähern sich die Glieder der harmonischen Reihe immer mehr der unteren Schranke, ohne sie je zu erreichen. So gibt es immer ein n für das gilt:
\( {x_n} < \varepsilon \) Gl. 167
Wobei die Schranke e beliebig klein, aber nicht = 0, gewählt werden kann.
Folgen, die diese Bedingung erfüllen, werden Nullfolgen genannt. Auch Folgen mit Gliedern, die alternierende Vorzeichen aufweisen, sind Nullfolgen.
Beispiel:
Die Reihe \(\left\{ { {x_n} } \right\} = {\left( { - 1} \right)^n}\frac{1}{n};\,\,\,n \in N\,\,\) hat ebenfalls eine obere Schranke von 1 und eine untere von 0, allerdings bezogen auf die Beträge der Glieder. Denn bei n = 1 ist \( \left| {\left\{ { {x_n} } \right\} } \right| = 1 \) und für n → ∞ strebt \(\left| {\left\{ { {x_n} } \right\} } \right| = 0 \).
Allgemein gilt daher für Nullfolgen:
\( \left| { {x_n} } \right| < \varepsilon \) Gl. 168
Es gibt aber auch Folgen, die keine Nullfolgen sind, und dennoch das Kriterium der Beschränktheit erfüllen.
Beispiel:
Die Reihe \(\left\{ { {x_n} } \right\} = \frac{n}{ {n + 1} };\,\,\, n \in N \) hat eine obere Schranke von 1 und eine untere von 1/2. Denn bei n = 1 ist \(\left| {\left\{ { {x_n} } \right\} } \right| = \frac{1}{2}\) und für n → ∞ strebt \(\left| {\left\{ { {x_n} } \right\} } \right| = 1\). Siehe Abbildung 26, blaue Kurve.
