Beschränkte Zahlenfolgen streben für große n gegen einen Grenzwert g.
\( \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = g \) Gl. 169
Mit der Einführung des Grenzwertes kann der Begriff der Nullfolge verallgemeinert werden. Durch die Subtraktion des Grenzwertes von den Gliedern der Folge kann jede beschränkte Folge zu einer Nullfolge gemacht werden:
\( \left| { {x_n} - g} \right| < \varepsilon \) Gl. 170
Eine Nullfolge hat also den Grenzwert g = 0.
Folgen, die einen endlichen Grenzwert besitzen werden konvergent genannt, solche ohne einen endlichen Grenzwert divergent.
Ob eine Folge einen endlichen Grenzwert besitzt oder nicht, hängt nicht nur von der funktionellen Beschaffenheit der Glieder {xn} ab, sondern auch von Wahl der unabhängigen Variablen x.
Beispiel:
Die Folge \({x_n} = {q^n}\) kann sowohl divergent wie auch konvergent sein. Wenn q ≥ 1 ist, strebt \( \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } {q^n} = \infty \). Ist q hingegen < 1, strebt \( \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } {q^n} = 0 \).
Für die Bestimmung von Grenzwerten von Reihen hat sich das Verfahren der Einhüllenden bewährt. Sind nämlich zu der zu untersuchende Reihe \( x_n \) andere Reihen \( a_n, b_n \), bekannt, die die unbekannte Reihe einhüllen und zudem beide den gleichen Grenzwert haben, dann muss auch die unbekannte Reihe den gleichen Grenzwert haben. Die Bedingung für geeignete einhüllende Reihen ist
\( {a_n} \le {x_n} \le {b_n} \) Gl. 171
Die Reihe \( a_n \) wird minorante und Reihe \( b_n \) majorante Reihe von \( x_n \) genannt.
Beispiel:
Es wird der Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{ {n!} }{ { {n^n} } }\) gesucht. Durch Berechnung der ersten Glieder der Reihe findet man,
| n!/nn | 1,0000 | 0,5000 | 0,2222 | 0,0938 | 0,0384 | 0,0154 | 0,0061 | 0,0024 |
| 2/n² | 2,0000 | 0,5000 | 0,2222 | 0,1250 | 0,0800 | 0,0556 | 0,0408 | 0,0313 |
dass für jedes Glied
\(\frac{ {n!} }{ { {n^n} } } \le \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}\)
gilt. Die Reihe 2/n² ist also eine Majorante der zu untersuchenden Funktion n!/nn. Der Grenzwert der Majorante ist für große n verschwindend. Daher ist auch der Grenzwert der zu untersuchenden Funktion verschwindend.
Das Rechnen mit Grenzwerten
Grenzwerte von Folgen werden auch eigentliche Grenzwerte genannt.
Für das Rechnen mit Grenzwerten von Folgen gelten die gleichen Gesetze wir für uneigentliche Grenzwerte.