Die Harmonische Reihe wird aus den Gliedern der Nullfolge \(\frac{1}{n}\) gebildet. Hat diese Reihe einen endlichen Grenzwert? Zur Beantwortung dieser Frage wird eine Abschätzung vorgenommen, indem die Glieder der Reihe
\( {s_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{ {10} } + \frac{1}{ {11} } + \) Gl. 174
Geeignet zusammengefasst werden:
\( {s_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \left[ {\frac{1}{3} + \frac{1}{4} } \right] + \left[ {\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} } \right] + \left[ {\frac{1}{9} + \frac{1}{ {10} } + \frac{1}{ {11} } + } \right. \) Gl. 175
Nun wir eine neue Reihe s’N gebildet, die unbedingt eine kleinere Summe aufweist als die Reihe sN:
\( s{'_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \left[ {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} } \right] + \left[ {\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} } \right] + \left[ {\frac{1}{ {16} } + \frac{1}{ {16} } + \frac{1}{ {16} } + } \right. \) Gl. 176
\( s{'_N} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2}\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + ..... \) Gl. 177
Es ist offensichtlich, dass diese (kleinere) Folge beiN → ∞ keinen endlichen Grenzwert aufweist, also divergiert. Wenn dem aber so ist, dann divergiert die eigentliche Reihe, die harmonische Reihe, auch!