Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Sofern wir 3 Werte gegeben haben, können wir die fehlenden Werte berechnen.
Gegeben:
Seite a, Seite b, Seite c
Gesucht:
Winkel α, Winkel β, Winkel γ
Lösung:
1. Kosinussatz für Seite a nach Winkel α umstellen:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·\cos(α) \\ a^2 - b^2 - c^2 = -2·b·c·\cos(α) \\ \cos(α) = \frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2·b·c} \\ α = \arccos( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2·b·c} ) \)
2. Kosinussatz für Seite b nach Winkel β umstellen:
\( b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·\cos(β) \\ b^2 - a^2 - c^2 = -2·a·c·\cos(β) \\ \cos(β) = \frac{b^2 - a^2 - c^2}{-2·a·c} \\ β = \arccos( \frac{b^2 - a^2 - c^2}{-2·a·c} ) \)
3. Winkel γ mit Winkelsummensatz ermitteln:
\( 180° = α + β + γ \\ γ = 180° - β - α \)