Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Sofern wir 3 Werte gegeben haben, können wir die fehlenden Werte berechnen.
Gegeben:
Seite a, Seite c, Winkel β
Gesucht:
Seite b, Winkel α, Winkel γ
Lösung:
1. Kosinussatz zum Bestimmen von Seite b:
\( b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cos(β) \\ b = \sqrt{a^2 + c^2 - 2·a·c·cos(β)} \)
2. Kosinussatz zum Bestimmen von Winkel α:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·\cos(α) \\ a^2 - b^2 - c^2 = -2·b·c·\cos(α) \\ \frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2·b·c} = \cos(α) \\ α = \arccos( \frac{a^2 - b^2 - c^2}{-2·b·c} ) \\ \)
3. Winkelsummensatz zum Bestimmen von Winkel γ:
\( 180° = α + β + γ \\ γ = 180° - α - β \)