Zehnerpotenzen helfen uns, mit großen Zahlen einfacher zu rechnen. Wir müssen die Nullen nicht mehr „mitschleppen“, sondern können direkter rechnen.
Bevor wir mit dem Rechnen loslegen, müssen wir jedoch die Schreibweise für Zehnerpotenzen klären.
Schreibweise von Zehnerpotenzen
Im Folgenden zeigen wir, wie Zehnerpotenzen geschrieben werden.
Wir müssen darauf achten, dass der Exponent immer die Anzahl der Nullen hinter der 1 angibt.
1 = 100 (wir haben 0 Nullen hinter der 1)
10 = 101 (wir haben 1 Null hinter der 1)
100 = 102 (wir haben 2 Nullen hinter der 1)
1 000 = 103 (wir haben 3 Nullen hinter der 1)
10 000 = 104 (wir haben 4 Nullen hinter der 1)
usw.
Das müssen wir uns unbedingt merken, denn diese Information macht das Rechnen sehr einfach:
Umschreiben mit Zehnerpotenzen
Jede Zahl kann mit Zehnerpotenz geschrieben werden. Dabei können wir grundsätzlich selbst festlegen, welche Zehnerpotenz wir wählen. Hier ein paar Beispiele:
5 000 = 5 · 1 000 = 5 · 103
5 000 = 50 · 100 = 50 · 102
5 000 = 500 · 10 = 500 · 101
5 000 = 5 000 · 1 = 5 000 · 100
Wählen wir eine weitere Zahl, die verschiedene Ziffern hat. Wir müssen hier darauf achten, dass das Komma stets an der richtigen Stelle gesetzt wird:
5 270 = 5,27 · 1 000 = 5,27 · 103
5 270 = 52,7 · 100 = 52,7 · 102
5 270 = 527 · 10 = 527 · 101
5 270 = 5 270 · 1 = 5 270 · 100
Als nächstes noch ein paar gemischte Beispiele, damit ihr ein besseres Gefühl für die Umformungen bekommt. Dabei formen wir so um, dass immer nur eine Zahl vor dem Komma stehen bleibt:
8 000 = 8·103
5 700 = 5,7·103
5 724 = 5,724·103
25 000 = 25·103 = 2,5·104
1 000 000 = 106
4 700 000 = 4,7·106
229 500 000 = 229,5·106 = 2,295·108
Zerlegen von Dezimalzahlen in Zehnerpotenzen
Nehmen wir die Zahl 24.752 auseinander. Da wir das Dezimalzahlensystem verwenden, wird jeder Stelle (jeder Ziffer) eine Zehnerpotenz zugeordnet. Unsere gewählte Zahl lässt sich in Summen und dann in Zehnerpotenzen zerlegen:
24 752 = 20 000 + 4 000 + 700 + 50 + 2
24 752 = 2·10 000 + 4·1 000 + 7·100 + 5·10 + 2·1
24 752 = 2·104 + 4·103 + 7·102 + 5·101 + 2·100
Oder mit den Stellen untereinander geschrieben:
| 2 | 4 | 7 | 5 | 2 |
| · | · | · | · | · |
| 104 | 103 | 102 | 101 | 100 |
Rechnen mit Hilfe von Zehnerpotenzen
Insbesondere beim Multiplizieren von großen Zahlen helfen uns die Zehnerpotenzen weiter. Ein Beispiel wird das klar machen:
Wir sollen folgende Aufgabe berechnen: 124 000 000 000 · 3 000 000 000 000 = ?
Hier ist es sinnvoll, zuerst die Zahlen als Zehnerpotenzen umzuschreiben:
124 000 000 000 · 3 000 000 000 000 =
124·109 · 3·1012
Jetzt können wir die Faktoren sinnvoll sortieren und vorteilhaft verrechnen:
124·109 · 3·1012 =
124 · 3 · 109 · 1012 =
372 · 109 + 12 =
372 · 1021
Das Ergebnis könnten wir so stehen lassen, jedoch hat man für die wissenschaftliche Schreibweise von Potenzen festgelegt, dass man linksseitig vor dem Komma nur eine Stelle belässt. Hierfür müssen wir noch umformen:
372 · 1021 =
3,72·100 · 1021 =
3,72·102 · 1021 =
3,72 · 102+21 =
3,72 · 1023
Das Ergebnis der Aufgabe lautet also:
124·109 · 3·1012 = 3,72 · 1023
Wir könnten übrigens auch kürzer schreiben:
124·109 · 3·1012 = 1,24·1011 · 3·1012 = 3,72 · 1023
Kopfrechnen mit Zehnerpotenzen
Die Berechnung von 124 000 000 .000 · 3 000 000 000 000 können wir im Kopf abkürzen. Für die Berechnung trennen wir die Nullen ab und zählen sie, wir kommen auf 21 Nullen und es bleibt stehen: 124 · 3. Dies können wir berechnen und erhalten 372. Nun schreiben wir die Nullen wieder heran, in dem Fall als Zehnerpotenz: 372·1021, fertig.
Vorteile beim Rechnen mit Zehnerpotenzen
Wie wir sehen, spart uns die Schreibweise mit Zehnerpotenzen sogar Zeit, weil wir nicht alle Nullen mitschreiben müssen. Außerdem machen wir weniger Fehler, da es beim Schreiben von mehreren Nullen dazu kommen kann, dass wir eine Null zu wenig oder zu viel notieren.