Alternierende Quersumme

Beispiele für alternierende Quersummen

• 12969 → 1-2+9-6+9 = 11 (mit Minus begonnen)
• 12969 → 1+2-9+6-9 = -9 (mit Plus begonnen)
• 251224 → 2+5-1+2-2+4 = 10
• 985 → 9-8+5 = 6
• 902238 → 9+0-2+2-3+8 = 14
• 384 → 3-8+4 = -1

Anwendung: Zahl auf Teilbarkeit durch 11 prüfen

Für die Überprüfung der Teilbarkeit einer Zahl z durch 11 gibt es eine einfache Regel:

Man schreibt zwischen je zwei Ziffern der Zahl z von links nach rechts abwechselnd + und – beginnend mit + zwischen den Zehnern und den Einern und rechnet die so entstandene Aufgabe aus. Sollte das Ergebnis beim Teilen durch 11 einen Rest r haben, so hat auch z:11 den Rest r.

Beispiel: z = 537591 soll auf Teilbarkeit durch 11 geprüft werden. Wir rechnen –5 + 3 – 7 + 5 – 9 + 1 = -12 und -12 entspricht dem positiven Rest 10. Also lässt 537591 beim Teilen durch 11 den Rest 10. Die Summe –5 + 3 – 7 + 5 – 9 + 1 heißt „alternierende Quersumme“.

Um zu verstehen, wo diese Regel herkommt, benötigen wir einige Sätze über Zahlenpaare mit gleichem Rest.

(1) Die Summe der Zahl z und der Zahl 11a hat den gleichen Rest beim Teilen durch 11, wie die Zahl z. Begründung: Die Addition einer durch 11 teilbaren Zahl ändert den Rest von z beim Teilen durch 11 nicht.

(2) Eine zweistellige Zahl z=10x+y hat beim Teilen durch 11 den gleichen Rest, wie die Differenz ihrer Ziffern d = y-x, denn z-d = 11x. Und Zahlen, deren Differenz durch t teilbar ist, lassen beim Teilen durch t den gleichen Rest. Dabei können negative Reste auftreten. Zu einem negativen Rest muss man so lange 11 addieren, bis ein positiver Rest entsteht.

(3) Eine Zahl z und ihr 100-faches 100·z haben den gleichen Rest beim Teilen durch 11. Begründung: 100·z=99·z + z. 99·z ist durch 11 teilbar. Nach (1) hat dann 100·z den gleichen Rest beim Teilen durch 11 wie z.

(4) z₁ habe beim Teilen durch 11 den Rest r₁ und z₂ habe beim Teilen durch 11 den Rest r₂. Dann hat z₁+z₂ beim Teilen durch 11 den gleichen Rest wie r₁+r₂.

Wir wollen diese Sätze auf die Zahl 654321 anwenden. 654321 = 65·10000 + 43·100 + 21.

21 hat beim Teilen durch 11 den Rest –2 + 1 = –1.
43·100 hat beim Teilen durch 11 den Rest –4 +3 = –1.
65·100·100 hat beim Teilen durch 11 den Rest –6+ 5 = –1.
65·10000+43·100+21 hat beim Teilen durch 11 den Rest –6+5–4+3–2+1 = –3, restgleich mit 8.

Beachte, dass zur Bestimmung des Restes die alternierende Quersumme zwischen Zehner und Einer mit + beginnt und dann in Richtung der größeren Stellenwerte abwechselt, während zur bloßen Prüfung der Teilbarkeit durch 11 auch ein Beginn mit – möglich ist.

Wenn man nun die Zeichen + und – so setzt, dass gleichgroße Blöcke abgeteilt werden, entstehen alternierende k-Quersummen, wobei k die Länge jedes Blockes ist. Der manchmal unvollständige Block ganz links kann mit Nullen aufgefüllt werden. Beispiel 1234567 hat die alternierende 3-Quersumme 001 – 234 + 567. Eine Zahl z lässt beim Teilen durch 7, 11 oder 13 den gleichen Rest wie ihre alternierende 3-Quersumme. Beispiel 1234567 hat die alternierende 3-Quersumme 334 (Achtung: zwischen den beiden Blöcke ganz rechts mit + beginnen!). Sowohl 1234567 als auch 334 lassen beim Teilen durch 7 den Rest 5, beim Teilen durch 11 den Rest 4 und beim Teilen durch 13 den Rest 9. Auch hier müssen wir zum Verständnis einige Sätze vorausschicken und wissen, dass 7·11·13 = 1001.

(1) Eine sechsstellige Zahl aus zwei identischen Dreierblöcken ist durch 1001 und damit auch durch 7, 11 und 13 teilbar. Begründung: a·10⁵+b·10⁴+c·10³+a·10²+b·10+c = a·10²·(10³+1)+b·10·(10³+1)+c·(10³+1) = (a·10²+b·10+c)·1001.

(2) Subtrahiert man von einer sechsstelligen Zahl z eine durch 1001 teilbare Zahl x, so bleibt der Rest beim Teilen der Differenz z–x durch 1001 unverändert gegenüber dem Rest von z. Wählt man für x eine Zahl aus zwei identischen Dreierblöcken, die beide gleich dem ersten Dreierblock von z sind, entsteht die alternierende 3-Quersumme von z. Beispiel: 364592 – 364364= –364 + 592 = 228. 364592 und 228 lassen beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest, und zwar 228. Dieser Rest ist weder durch 7, noch durch 11 oder 13 teilbar, sodass auch 364592 diese Primfaktoren nicht hat.

(3) 1000000·z und z lassen beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest. Begründung: 1000000·z – z = 999999·z und 999999 ist durch 1001 teilbar (besteht aus zwei identischen Dreierblöcken).

(4) z₁ habe beim Teilen durch 1001 den Rest r₁ und z₂ habe beim Teilen durch 1001 den Rest r₂. Dann hat z₁+z₂ beim Teilen durch den gleichen Rest wie r₁+r₂.

Wir wollen diese Sätze auf die Zahl 304938257 anwenden:

304938257 = 304000000 + 938257
304000000 hat beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest wie 304.
938257 hat beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest wie –938+257.
304938257 hat beim Teilen durch 1001 den gleichen Rest wie 304 – 938 + 257 = -377.
Da -377 durch 13 teilbar ist, nicht aber durch 7 oder durch 11, gilt das Gleiche auch für 304938257.