Binärzahlen

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Bei den Dezimalzahlen nutzen wir zehn Ziffern, und zwar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Diese Ziffern setzen wir zusammen und bilden entsprechende Dezimalzahlen, wie zum Beispiel 115, 981, 2578.

Bei den Binärzahlen (auch „Zweierzahlen“ genannt) nutzen wir nur zwei Ziffern, und zwar 0 und 1. Diese setzen wir zusammen und bilden entsprechende Binärzahlen, wie zum Beispiel 101, 11011, 100101.

Das Wort „binär“ kommt vom lateinischen „bini“ und bedeutet „zwei“.

Binärzahlen abzählen

Um Binärzahlen von 0 beginnend aufwärts zu zählen, müssen wir uns überlegen, was nach der 0 und 1 folgt. Eine 2 kann es nicht sein, denn 2 ist keine Binärzahl. Das heißt, wir haben einen Übertrag auf die nächste Stelle (links).

\( 0 \xrightarrow[]{\text{+1}} 1 \xrightarrow[]{\text{+1}} 10 \)

Als nächstes fragt sich, was nach der Binärzahl 10 kommt. Wir fügen wieder eine 1 hinzu:

\( 10 \xrightarrow[]{\text{+1}} 11 \)

Die folgende Zahl erfordert wieder einen Übertrag:

\( 11 \xrightarrow[]{\text{+1}} 100 \)

Schreiben wir die Additionen von +1 neben die jeweilige Binärzahl:

0 = 0
1 = 0 + 1
10 = 0 + 1 + 1
11 = 0 + 1 + 1 + 1
100 = 0 + 1 + 1 + 1 + 1

Als nächstes wollen wir die ersten 16 Binärzahlen abzählen. Diese sind:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111

Das mag auf den ersten Blick merkwürdig aussehen, aber dahinter stecken die Dezimalzahlen:

0 (0), 1 (1), 10 (2), 11 (3), 100 (4), 101 (5), 110 (6), 111 (7), 1000 (8), 1001 (9), 1010 (10), 1011 (11), 1100 (12), 1101 (13), 1110 (14), 1111 (15)

Hier lässt sich erkennen, dass gerade Zahlen als Binärzahl immer auf 0 enden und ungerade Zahlen immer auf 1 enden.

Dezimalwert einer Binärzahl (Rechner)

Programm

Dezimalwert einer Binärzahl

Hier kannst du die Stellen einer Binärzahl mit Klick auf 0 bzw. 1 einstellen, der Wert der Binärzahl wird angezeigt:

16	8	4	2	1
0	0	0	0	1
16	8	4	2	1

Stellenwerte

Bei den Binärzahlen ist der Stellenwert jeder Ziffer 2-mal so hoch wie der Stellenwert der nächsten Ziffer rechts. Bei den Dezimalzahlen ist es 10-mal so hoch.

binärzahlen stellenwertsystem

Berechnung von Binärzahlen

Die folgende Tabelle zeigt die Binärzahlen von 1 bis 31. Daran ist gut zu sehen, wie sich der Wert einer Binärzahl herleiten lässt.

Dezimalzahl	Binärzahl	Berechnung
1	00001	0+0+0+0+1
2	00010	0+0+0+2+0
3	00011	0+0+0+2+1
4	00100	0+0+4+0+0
5	00101	0+0+4+0+1
6	00110	0+0+4+2+0
7	00111	0+0+4+2+1
8	01000	0+8+0+0+0
9	01001	0+8+0+0+1
10	01010	0+8+0+2+0
11	01011	0+8+0+2+1
12	01100	0+8+4+0+0
13	01101	0+8+4+0+1
14	01110	0+8+4+2+0
15	01111	0+8+4+2+1
16	10000	16+0+0+0+0
17	10001	16+0+0+0+1
18	10010	16+0+0+2+0
19	10011	16+0+0+2+1
20	10100	16+0+4+0+0
21	10101	16+0+4+0+1
22	10110	16+0+4+2+0
23	10111	16+0+4+2+1
24	11000	16+8+0+0+0
25	11001	16+8+0+0+1
26	11010	16+8+0+2+0
27	11011	16+8+0+2+1
28	11100	16+8+4+0+0
29	11101	16+8+4+0+1
30	11110	16+8+4+2+0
31	11111	16+8+4+2+1

Als Beispiel die Umwandlung der Binärzahl 10110011 zu einer Dezimalzahl:

= 10110011 (Binärzahl)

= 1·128 + 0·64 + 1·32 + 1·16 + 0·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1

= 179 (Dezimalzahl)

Notation von Binärzahl und Dezimalzahl

Video

Binärzahl, Index an Zahl 1001₂

Um kenntlich zu machen, welches Zahlensystem verwendet werden soll, schreibt man einen tiefgestellten Index an die Zahl.

Beispiel Binärzahl: 100101₂. Die ₂ zeigt an, dass es sich um eine Binärzahl handelt.

Beispiel Dezimalzahl: 457₁₀. Die ₁₀ zeigt an, dass es sich um eine Dezimalzahl handelt.

Zur Geschichte der Binärzahlen

Binärzahlen waren schon lange bekannt, doch die modernen Binärzahlen gehen auf den deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) zurück. Er entwickelte das heutzutage verwendete binäre Zahlensystem. Leibniz war einer der ersten, die erkannten, dass sich jede Berechnung mit Binärzahlen durchführen lässt und baute eine der ersten Rechenmaschinen.

leibniz notiz binärsystem 1697 — Abbildung 1: Aus einem Brief von Leibniz an Herzog Wolfenbüttel zum Binärsystem (1697)

Die Funktionsweise aller heutigen Computer greift auf Binärzahlen zurück, da es elektrotechnisch gesehen nur An- und Aus-Zustände (Aus=0 und An=1) gibt (siehe Anwendung von Binärzahlen beim Computer).