Addition von Binärzahlen

Grundrechenarten mit den Binärzahlen (Dualsystem)

Das Rechnen mit Binärzahlen funktioniert ähnlich wie das Rechnen mit Dezimalzahlen.

Wir müssen jedoch aufpassen, dass beispielsweise der Übertrag an anderer Stelle zu setzen ist. So ist bei der Addition im Dezimalsystem 9+1 = 10, wobei die 1 aus einem Übertrag zustande kommt, im Binärsystem hingegen haben wir 1+1 = 10.

In den folgenden Artikeln werden die vier Grundrechenarten mit den Binärzahlen vorgestellt.

Addition von Binärzahlen

Es gibt folgende vier Möglichkeiten bei der Addition der zwei Ziffern 0 und 1:

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 ← mit Übertrag

Sollen wir folgende Addition durchführen: 1001 + 100, so können wir wie gewohnt die schriftliche Addition verwenden:

  1001
+  100
= 1101

Warum funktioniert das stellenweise untereinander Addieren?

Dahinter steckt das Zerlegen der Zahlen in Summanden.

Nachfolgend sehen wir, was wirklich passiert:

   1001 → 1000 + 000 + 00 + 1
+   100 →        100 + 00 + 0
        → 1000 + 100 + 00 + 1
        → ^      ^     ^    ^
        → 1101               
= 1101

Addition von Binärzahlen mit Übertrag

Es gibt auch Addition, die einen Übertrag erfordern. Nehmen wir als Beispiel: 1100 + 1101. Die Addition erfolgt wie gewohnt mit der Üntereinanderschreibweise.

      1100
   +  1101
Ü: + 11000
     11001

Das Ergebnis ist also 11001. Dabei wurde bei der Addition von 1 + 1 ein Übertrag auf die nächste Stelle von 1 (nach links) vorgenommen.

Nehmen wir ein zweites Beispiel, und zwar die Addition von 1001 + 1111.

      1001
    + 1111
Ü: + 11110
     11000

Überprüfen wir doch das Ergebnis, in dem wir alle Binärzahlen in Dezimalzahlen umrechnen. Im Folgenden kennzeichnen wir Binärzahlen mit einer tiefgestellten „2“ und Dezimalzahlen mit einer tiefgestellten „10“.

1001₂ + 1111₂ = 11000₂

Einzeln umgerechnet

1001₂ = 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 9₁₀
1111₂ = 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 15₁₀
11000₂ = 1·2⁴ + 1·2³ + 0·2² + 0·2¹ + 0·2⁰ = 24₁₀

Wir haben also nichts anderes als:
9₁₀ + 15₁₀ = 24₁₀

Das stimmt offensichtlich (9 + 15 = 24), genauso wie auch unsere obige Rechnung im Binärsystem.