Hier stellen wir drei Verfahren vor, um die Teilbarkeit durch 7 zu prüfen.
Der erste Merksatz ist nicht ganz so einfach, aber mit den Beispielen unten versteht man ihn besser.
Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die aus ihren letzten zwei Ziffern gebildete Zahl plus 2 mal der aus allen Ziffern davor gebildeten Zahl durch 7 teilbar ist.
Beispiele
Die Probe ist korrekt, wenn bei der Division eine ganze Zahl herauskommt. Die Zahl ist dann durch die genannte Zahl teilbar.
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875
Prüfen mit 75 + 2·8 = 91
→ 91 ist durch 7 teilbar, also ist auch 875 durch 7 teilbar ✓ -
4 214
Prüfen mit 14 + 2·42 = 98
→ 98 ist durch 7 teilbar, also ist auch 4 214 durch 7 teilbar ✓ -
12 110
Prüfen mit 10 + 2·121 = 252
→ 252 ist durch 7 teilbar, also ist auch 12 110 durch 7 teilbar ✓ -
448 315
Prüfen mit 15 + 2·4483 = 8981
→ Verfahren nochmals durchführen:
8 981 prüfen mit 81 + 2·89 = 259
→ 259 ist durch 7 teilbar, also ist auch 448 315 durch 7 teilbar ✓
Ist die Prüfzahl nicht einfach im Kopf durch 7 teilbar, so wiederholt man den Vorgang mit der Prüfzahl.
Für das Beispiel 12 110 → 252. Verfahren nochmals mit 252, also: 52 + 2·2 = 56, und 56 ist durch 7 teilbar.
Gegenbeispiele
Die Probe ist nicht korrekt, wenn bei der Division ein Rest übrig bleibt (bzw. sich eine Kommazahl ergibt). Die Zahl ist dann durch die genannte Zahl nicht teilbar.
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2 117
Prüfen mit 17 + 2·21 = 59
→ 59 : 7 = 56 Rest 3 ✗ -
65 438
Prüfen mit 38 + 2·654 = 1 346
→ nochmals mit 1 346, also: 46 + 2·13 = 72 → 72 : 7 = 10 Rest 2 ✗ -
300 704
Prüfen mit 04 + 2·3007 = 6 018
→ nochmals mit 6 018, also: 18 + 2·60 = 138 → 138 : 7 = 19 Rest 5 ✗
Neben der oben vorgestellten Teilbarkeitsregel gibt es noch weitere, die meist komplizierter sind. Der Vollständigkeit halber stellen wir zwei weitere Verfahren vor:
Teilbarkeit durch 7 über das Doppelte der letzten Ziffer
Mithilfe dieses Verfahrens lässt sich ebenfalls die Teilbarkeit durch 7 prüfen. Wir nehmen das doppelte der letzten Ziffer und subtrahieren es von der aus allen vorderen Ziffern gebildeten Zahl, unter jeweiliger Wegnahme der letzten Ziffer (als Iteration).
Beispiel:
770 784 → 77 078 - 2·4 = 77 070
77 070 → 7 707 - 2·0 = 7 707
7 707 → 770 - 2·7 = 756
756 → 75 - 2·6 = 63
→ 63 ist :7 teilbar, also ist 770 784 auch :7 teilbar
Die Regel heißt: „Eine Zahl 10a + b ist genau dann durch 7 teilbar, wenn a − 2b durch 7 teilbar ist.“
Teilbarkeit durch 7 über Zerlegung in „Dreierblöcke“
Für dieses Verfahren zerlegen wir die zu prüfende Zahl in „Dreierblöcke“ und addieren diese „Dreierblöcke“ mit alternierenden (wechselndes) Vorzeichen:
7 770 784 → -7 + 770 - 784 = -21
Als nächstes prüfen wir, ob dieses Ergebnis durch 7 dividiert werden kann.
→ (-21) ist :7 teilbar ✓
→ also ist auch 7 770 784 durch :7 teilbar.