Herleitung der Logarithmusregel log_a x + log_a y = log_a (x⋅y)

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Herleitung 1. und 2. Logarithmusregel

Herleitung 1. und 2. Logarithmusregel

Um die erste Logarithmusregel log_a x + log_a y = log_a (x·y) zu bestimmen, müssen wir uns auf die Exponenten konzentrieren.

2⁴ · 2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷

Schreiben wir die Potenzen um zu Logarithmen:

2⁴ = 16 → log₂ 16 = 4
2³ = 8 → log₂ 8 = 3
2⁷ = 128 → log₂ 128 = 7

Nun betrachten wir die Exponenten, wobei wir sie mit den Logarithmen ersetzen:
4 = log₂ 16 sowie 3 = log₂ 8 und 7 = log₂ 128

4 + 3 = 7
log₂ 16 + log₂ 8 = log₂ 128

Schließlich schreiben wir die 128 als 16·8:

log₂ 16 + log₂ 8 = log₂ (16·8)

und erkennen die erste Logarithmusregel:

log₂ 16 + log₂ 8 = log₂ (16 · 8)

Allgemein:
log_a x + log_a y = log_a (x · y)

Gleichermaßen verfahren wir übrigens mit der Subtraktion und erhalten die zweite Logarithmusregel:
log_a x – log_a y = log_a (x : y)