Logarithmen können wir im Alltag entdecken: Zum Beispiel beim pH-Wert (Maß für den sauren oder basischen Charakter einer wässrigen Lösung, siehe Berechnungen unten) und der Dezibel-Skala (Maß für die Lautstärke). Oder benutzt sie einfach, wenn es um eure Finanzplanung geht, wie beim Zinseszins gezeigt.
Grundsätzlich werden Logarithmen dort verwendet, wo die Werte enorme Größen annehmen.
Anwendungsbeispiel: Ph-Wert und Logarithmus
Beim ph-Wert (Abkürzung für lateinisch potentia hydrogenii = Fähigkeit des Wasserstoffs) betrachtet man Konzentrationen zwischen 0 (sauer) und 14 (alkalisch) als Maß für den Charakter einer wässrigen Lösung. Die Skala 0 bis 14 gibt Logarithmenwerte wieder, und zwar gemäß der Formel:
ph-Wert = -log10[H+]
bzw. allgemein mit: y = -log10x
Hierbei handelt es sich um extrem kleine Werte, die sich mit Hilfe des Logarithmus besser voneinander unterscheiden lassen.
Wir können die gegebene Formel wie folgt nach x (also H+) umstellen:
y = -log10x |·(-1)
-y = log10x | 10 hoch
10-y = 10log10x | Regel: alogax = x
10-y = x
x = 10-y
Zum Beispiel hat Essig einen ph-Wert von 2,5, das heißt:
x = 10-y | y=2,5
x = 10-2,5
x ≈ 0,00316227766016838 = H+
Wie wir sehen, können wir statt 0,00316227766016838 einfach ph-Wert = 2,5 schreiben, was wesentlich einfacher zu lesen und zu merken ist.
Wie wir an der folgenden Tabelle sehen, wird die Unterscheidung durch die ph-Werte erleichtert.
Der minimale ph-Wert ist 0, also die Konzentrationsangabe H+ = 100 = 1.
Der maximale ph-Wert ist 14, also H+ = 10-14 = 0,00000000000001.
Beispiel für ph-Werte
| Substanz | ph-Wert | H+ |
|---|---|---|
| Zitronensaft | 2,4 | 10-2,4 ≈ 0,004 |
| Wein | 4,0 | 10-4,0 = 0,0001 |
| Bier | 5,0 | 10-5,0 = 0,00001 |
| Milch | 6,5 | 10-6,5 = 0,0000003 |
| Seife | 10,0 | 10-10,0 = 0,0000000001 |
Zusätzlich ist interessant zu wissen, dass unsere Wahrnehmung nicht linear funktioniert, sondern vielmehr logarithmisch. Wie beim Dezibel (Einheit für die Lautstärke): Ein Ton wird von uns nicht doppelt so laut wahrgenommen, wenn seine Lautstärke verdoppelt wird. Nein, man muss ihn um ein Vielfaches erhöhen! Gleiches gilt übrigens auch für das Licht. Verdoppeltes Licht (also zwei Lichtquellen) erzeugen für unsere Wahrnehmung kein doppelt so helles Licht.
Anwendungsbeispiel: Große Zahlen vergleichen
Wenn wir beispielsweise bestimmen sollen, ob 99100 größer oder kleiner ist als 10099, dann stößt unser Taschenrechner an seine Grenzen, da die Zahlen viel zu groß sind und nicht in den Speicher passen. Abhilfe schafft hier der Logarithmus, mit dem wir den Vergleich wie folgt führen können:
99100 ☐ 10099 | Logarithmus auf jeden Term anwenden
log 99100 ☐ log 10099 | Logarithmusregel: Exponent nach vorne in Multiplikation
100·log 99 ☐ 99·log 100 | jetzt in den Taschenrechner eingeben (Ergebnisse gerundet)
199,56 ☐ 198 | wir erkennen, der Linksterm ist größer
199,56 > 198 | damit gilt auch:
99100 > 10099
So hilfreich kann der Logarithmus sein.