Herleitung der Logarithmusregel log_a x^y = y · log_a x

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Herleitung 3. Logarithmusregel

Herleitung 3. Logarithmusregel

Die Logarithmusregel:

log_a (x^y) = y · log_ax

ist sehr wichtig, da sie häufig verwendet wird.

Zeigen wir schrittweise, wie diese Regel zustande kommt und betrachten zuerst ein Beispiel zu den Potenzen:

(2³)⁴ = 2^3·4 = 2¹²

2¹² = 4096

Schreiben wir das um zu einem Logarithmusausdruck:

log₂ 4096 = 12

Nun konzentrieren wir uns auf die 4096 und schreiben diese mit Zweierpotenzen:

log₂ 4096 = log₂ (2¹²) = log₂ (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2)

Wenden wir jetzt die erste Logarithmusregel rückwärts an:

log_a (x · y) = log_a x + log_a y

Damit erhalten wir:

log₂ 4096
= log₂ (2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2)
= log₂2 + log₂2 + log₂2 + log₂2 + log₂2 + log₂2 + log₂2 + log₂2 + log₂2 + log₂2 + log₂2 + log₂2
= 12 · log₂2

Und das ist auch schon die nächste Logarithmusregel:

log₂ (2¹²) = 12 · log₂2

Verallgemeinert:

log_a (x^y) = y · log_ax