Herleitung der Logarithmusregel log_a x - log_a y = log_a (x/y)

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Herleitung 1. und 2. Logarithmusregel

Herleitung 1. und 2. Logarithmusregel

Die erste Logarithmusregel log_a x + log_a y = log_a (x·y) hatten wir bereits bestimmt. Genau auf diese Weise leiten wir auch die Logarithmusregel für die Addition (bzw. Division) her.

Im ersten Schritt notieren wir die Potenzen.

2⁴ : 2³ = 2^4-3 = 2¹

Schreiben wir die Potenzen um zu Logarithmen:

2⁴ = 16 → log₂ 16 = 4 2³ = 8 → log₂ 8 = 3 2¹ = 2 → log₂ 2 = 1

Nun die Exponenten-Betrachtung, wobei wir die Exponenten mit den Logarithmen ersetzen:
4 = log₂ 16 sowie 3 = log₂ 8 und 1 = log₂ 2

4 - 3 = 1
log₂ 16 - log₂ 8 = log₂ 2

Schließlich schreiben wir die 2 als 16:8, also:

log₂ 16 - log₂ 8 = log₂ (16:8)

und erkennen die zweite Logarithmusregel:

log₂ 16 – log₂ 8 = log₂ (16 : 8)

Allgemein:
log_a x – log_a y = log_a (x : y)

Bzw. in Bruchschreibweise:

\( \log_{a}\textcolor{#F00}{x} - \log_{a}\textcolor{#00F}{y} = \log_{a}{\frac{\textcolor{#F00}{x}}{\textcolor{#00F}{y}}} \)