Kettenregel
Die Kettenregel lautet:
\( f(x) = g(h(x)) → f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \)
Die Kettenregel erlaubt unter anderem das Ableiten von Klammern oder komplizierteren Exponenten.
Schauen wir uns zwei Beispiele an.
Beispiel 1
f(x) = (4x² + 2)²
Wir haben nun die sogenannte „äußere“ Funktion mit der Klammer, und die „innere“ Funktion mit dem Klammerinhalt.
f(x) = g(h(x)) → g(h(x)) = h(x)² und h(x) = (4x² + 2)
g’(h(x)) = 2·h(x) und h’(x) = 8x
f’(x) = g’(h(x)) · h’(x) = 2·h(x) · 8x = 2·(4x²+2) · 8x = 16x·(4x²+2)
Es sieht komplizierter aus als es ist und bedarf nur etwas Übung. Der Übung wegen machen wir direkt ein weiteres Beispiel.
Beispiel 2
f(x) = sin(3·x² + 2x)
Auch hier haben wir wieder eine äußere und eine innere Funktion. Diese müssen wir identifizieren, um sie wie im Beispiel 1 zuordnen zu können.
f(x) = g(h(x)) → g(h(x)) = sin(h(x)) und h(x) = 3x² + 2x
g’(h(x)) = cos(h(x)) und h’(x) = 6x + 2
f’(x) = g’(h(x)) · h’(x) = cos(h(x)) · (6x + 2) = cos(3x² + 2x) · (6x + 2)
Abschlussbemerkung
Hier wurde euch ein kleiner Einblick in die Differentialrechnung gewährt. Ihr könnt nun losstarten und euch der ersten Ableitungen annehmen. Es ist dabei essentiell, dass die Regeln verstanden und angewendet werden können, was sich nur durch Übung erreichen lässt. Viel Erfolg!