Wir hatten die Differentialrechnung bereits ausführlich behandelt und eine Übersicht der Ableitungsregeln gegeben.
Im Folgenden eine Übersicht von ersten und zweiten Ableitungen elementarer und spezieller Funktionen. Wir leiten ab: xn, √x, ax, ex, ln(x), log(x), sin(x), cos(x), tan(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), sinh(x), cosh(x), tanh(x).
| Funktion | 1. Ableitung | 2. (und k-te Ableitung) |
|---|---|---|
| a = const. | 0 | 0 |
| \( y = x^n \) | \( y = n·x^{n-1} \) | \( y = n·(n-1)·x^{n-2} \) |
| \( y = \sqrt{x} \) | \( y = \frac{1}{2·\sqrt{x}} \) | \( y = -\frac{1}{4·x·\sqrt{x}} \) |
| \( y = a^x; \quad (a>0, a\neq 1) \) | \( y' = a^x · \ln(a) = \frac{a^x}{ \log_{a}{(e)} } \) | \( y'' = a^x · \ln(a)·\ln(a) \) |
| \( y = e^x \) | \( y' = e^x \) | \( y'' = e^x; \quad {y}^{(k)} = e^x \) |
| \( y = \ln(x); \quad (x>0) \) | \( y' = \frac{1}{x} \) | \( y'' = -\frac{1}{x^2} \) |
| \( y = \log_{a}{x}; \\ (a>0,a\neq 1;x>0) \) | \( y' = \frac{1}{x·\ln(a)} \) | \( y'' = -\frac{1}{x^2 · \ln(a)} \) |
| \( y = \sin(x) \) | \( y' = \cos(x) \) | \( y'' = -\sin(x) \) |
| \( y = \cos(x) \) | \( y' = -\sin(x) \) | \( y'' = -\cos(x) \) |
| \( y = \tan(x) \) | \( y' = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+\tan^2(x) \) | \( y'' = 2 \tan(x)·(1+\tan^2(x)) \) |
| \( y = \arcsin(x) \) | \( y' = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} } \) | \( y'' = \frac{x}{ (1-x^2)·\sqrt{1-x^2} } \) |
| \( y = \arccos(x) \) | \( y' = \frac{-1}{ \sqrt{1-x^2} } \) | \( y'' = \frac{-x}{ (1-x^2)·\sqrt{1-x^2} } \) |
| \( y = \arctan(x) \) | \( y' = \frac{1}{1+x^2} \) | \( y'' = \frac{-2x}{(1+x^2)^2} \) |
| \( y = \sinh(x) \) | \( y' = \cosh(x) \) | \( y'' = \sinh(x) \) |
| \( y = \cosh(x) \) | \( y' = \sinh(x) \) | \( y'' = \cosh(x) \) |
| \( y = \tanh(x) \) | \( \begin{aligned} y' &= \frac{1}{cosh^2(x)} \\ &= sech^2(x) \end{aligned} \) | \( \begin{aligned} y'' &= -2 \tanh(x) · \frac{1}{cosh^2(x)} \\ &= -2 \tanh(x) · sech^2(x) \end{aligned} \) |
| \( y = \coth(x) \) | \( \begin{aligned} y' &= -\frac{1}{sinh^2(x)} \\ &= -csch^2(x) \end{aligned} \) | \( \begin{aligned} y' &= 2·\coth(x)·\frac{1}{sinh^2(x)} \\ &= 2·\coth(x)·csch^2(x) \end{aligned} \) |
Formelsammlung Differentialrechnung